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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 37

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

3 7 .   ∫ s e n   x   d x 1 + cos 2 ⁡ x  

Passo 1

Vamos resolver fazer uma substituição simples onde:

u = cos ⁡ x ⇒ d u =   - s e n   x   d x ⇒ - d u = s e n   x   d x

Nossa integral ficará então:

∫ - d u 1 + u 2

Passo 2

Integrando:

Sabemos que 1 1 + x 2 = a r c t g ' ( x ) , então:

∫ - 1 1 + u 2 d u =   - a r c t g   ( u ) + c

Passo 3

Voltando para nossa variável inicial, temos que:

- a r c t g   u + c =   - a r c t g ( cos ⁡ x ) + c

Resposta

∫ s e n   x   d x 1 + cos 2 ⁡ x =   - a r c t g ( cos ⁡ x ) + c

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