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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 32

No Exercício ∫ ϴ 4 - 4 ϴ 3 + 2 ϴ 2 - 3 ϴ + 1 ϴ 2 + 1 3   d ϴ , expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule as integrais.

Passo 1

Para integrar de acordo como o enuciado pede devemos, inicialmente, achamos as constantes da fração parcial e em seguida calcular a integral. Para isso usaremos a fórmula:

P ( x ) ( x - a ) n   =   A 1 ( x - a )   + A 2 ( x - a ) 2 + . . . + A n ( x - a ) n

Ou

P ( x ) ( x - a ) 2 + b 2 n   =   A 1 . x + B 1 ( x - a ) 2 + b 2   + A 2 . x +   B 2 ( x - a ) 2 + b 2 n + . . . + A n . x + B n ( x - a ) 2 + b 2 n

Passo 2

Para encontrar o valos da constantes primeiramente vamos separar o denominador para formar o maior número de fração possível “revertendo” o mmc:

ϴ 4 - 4 ϴ 3 + 2 ϴ 2 - 3 ϴ + 1 ϴ 2 + 1 3   =   A ϴ + B ϴ 2 + 1 + C ϴ + D ϴ 2 + 1 2 + E ϴ + F ϴ 2 + 1 3

ϴ 4 - 4 ϴ 3 + 2 ϴ 2 - 3 ϴ + 1   = A ϴ + B . ϴ 2 + 1 2 + C ϴ + D   ϴ 2 + 1 + E ϴ + F

ϴ 4 - 4 ϴ 3 + 2 ϴ 2 - 3 ϴ + 1 = A ϴ + B . ϴ 4 + 2 ϴ 2 + 1 + C ϴ 3 + C ϴ + D ϴ 2 + D + E ϴ + F

ϴ 4 - 4 ϴ 3 + 2 ϴ 2 - 3 ϴ + 1 = A ϴ 5 + 2 A ϴ 3 + A ϴ + B ϴ 4 + 2 B ϴ 2 + B + C ϴ 3 + C ϴ + D ϴ 2 + D + E ϴ + F

ϴ 4 - 4 ϴ 3 + 2 ϴ 2 - 3 ϴ + 1 = A ϴ 5 + B ϴ 4 + ( 2 A + C ) ϴ 3 + ( 2 B + D ) ϴ 2 + ( A + C + E ) ϴ + B + D + F

Analizando a equação, igualamos os valores nos parenteses aos coeficientes do outro lado da equação:

A = 0

B = 1

2 A + C = - 4

2 B + D = 2

A + C + E = - 3

B + D + F = 1

Substituindo “A” na terceira equação encotraremos o valor de “C”:

2 A + C = - 4

2.0 + C = - 4

C = - 4

Substituindo “B”na quarta fórmula encontraremos o valor de “D”:

2 B + D = 2

2.1 + D = 2

D = 0

Substituindo o valor de “A” e “C” na quinta fórmula encontraremos o valor de “E”:

A + C + E = - 3

0 - 4 + E = - 3

E = 1

Substituindo na sexta fórmula o valor de “B” e ”D” encontraremos o valor de “F”:

B + D + F = 1

1 + 0 + F = 1

F = 0

Por último, substituimos agora no lugar das constantes:

ϴ 4 - 4 ϴ 3 + 2 ϴ 2 - 3 ϴ + 1 ϴ 2 + 1 3   =   A ϴ + B ϴ 2 + 1 + C ϴ + D ϴ 2 + 1 2 + E ϴ + F ϴ 2 + 1 3

=   0 . ϴ + 1 ϴ 2 + 1 + - 4 . ϴ + 0 ϴ 2 + 1 2 + 1 . ϴ + 0 ϴ 2 + 1 3

=   1 ϴ 2 + 1 - 4 . ϴ ϴ 2 + 1 2 + ϴ ϴ 2 + 1 3

Passo 3

Agora calculamos a integral das frações parciais:

∫ ϴ 4 - 4 ϴ 3 + 2 ϴ 2 - 3 ϴ + 1 ϴ 2 + 1 3   d ϴ = ∫ 1 ϴ 2 + 1 d ϴ - ∫ 4 . ϴ ϴ 2 + 1 2 d ϴ + ∫ ϴ ϴ 2 + 1 3 d ϴ

= ∫ 1 ϴ 2 + 1 d ϴ - 4 ∫ ϴ ϴ 2 + 1 2 d ϴ + ∫ ϴ ϴ 2 + 1 3 d ϴ

= t g - 1 ϴ   + 2 ( ϴ 2 + 1 ) - 1 - 1 4 ( ϴ 2 + 1 ) - 2 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

∫ ϴ 4 - 4 ϴ 3 + 2 ϴ 2 - 3 ϴ + 1 ϴ 2 + 1 3   d ϴ = = t g - 1 ϴ   + 2 ( ϴ 2 + 1 ) - 1 - 1 4 ( ϴ 2 + 1 ) - 2 + c

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