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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 30

No Exercício ∫ x 2 + x x 4 - 3 x 2 - 4   d x , expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule as integrais.

Passo 1

Para integrar de acordo como o enuciado pede devemos, inicialmente, achamos as constantes da fração parcial e em seguida calcular a integral. Para isso usaremos a fórmula:

P ( x ) ( x - a ) n   =   A 1 ( x - a )   + A 2 ( x - a ) 2 + . . . + A n ( x - a ) n

Ou

P ( x ) ( x - a ) 2 + b 2 n   =   A 1 . x + B 1 ( x - a ) 2 + b 2   + A 2 . x +   B 2 ( x - a ) 2 + b 2 n + . . . + A n . x + B n ( x - a ) 2 + b 2 n

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar a fração:

x 2 + x x 4 - 3 x 2 - 4   =   x 2 + x x 2 - 4 x 2 + 1

=   x 2 + x x - 2 x + 2 x 2 + 1

Para encontrar o valos da constantes primeiramente vamos separar o denominador para formar o maior número de fração possível “revertendo” o mmc:

x 2 + x x - 2 x + 2 x 2 + 1   =   A x - 2 + B x + 2 + C x + D x 2 + 1

x 2 + x   =   A x + 2 x 2 + 1 + B x - 2 x 2 + 1 + C x + D x - 2 x + 2

x 2 + x   = A x + 2 A x 2 + 1 + B x - 2 B x 2 + 1 + C x + D x 2 - 4

x 2 + x   = A x 3 + A x + 2 A x 2 + 2 A + B x 3 + B x - 2 B x 2 - 2 B + C x 3 - 4 C x + D x 2 - 4 D

x 2 + x   = ( A + B + C ) x 3 + ( 2 A - 2 B + D ) x 2 + ( A + B - 4 C ) x + ( 2 A - 2 B - 4 D )

Analizando a equação, igualamos os valores nos parenteses aos coeficientes do outro lado da equação:

A + B + C   = 0

2 A - 2 B + D = 1

A + B - 4 C = 1

2 A - 2 B - 4 D = 0

Reorganizando a quarta equação, temos:

A + B - 4 C = 1

A + B = 1 + 4 C

Substituindo esse resultado na primeira equação encontramos o valor de “C”:

A + B + C   = 0

1 + 4 C + C   = 0

5 C   = - 1

C   = - 1 5

Agora para encontrar o valor de “D” vamos subtrair a segunda equação da quarta:

2 A - 2 B - 4 D - 2 A - 2 B + D = 0 - 1

2 A - 2 B - 4 D - 2 A + 2 B - D = - 1

- 5 D = - 1

D = 1 5

Substituindo o valor de “C” na primeira equação:

A + B + C   = 0

A + B - 1 5 = 0

A + B = 1 5

Substituindo o valor de “D” na quarta equação:

2 A - 2 B - 4 D = 0

2 A - B - 4 . 1 5 = 0

2 A - B = 4 . 1 5

A - B = 2 5

Iremos somar as duas equações encontradas:

A + B = 1 5 A - B = 2 5  

A + B + A - B = 1 5 + 2 5  

2 A = 3 5

A = 3 10

Substituindo o valor de “A” em uma das equações teremos o valor de “B”:

A + B = 1 5

3 10 + B = 1 5

B = - 1 10

Por último, substituimos agora no lugar das constantes:

x 2 + x x - 2 x + 2 x 2 + 1   =   A x - 2 + B x + 2 + C x + D x 2 + 1

  =   3 10 x - 2 + - 1 10 x + 2 + - 1 5 x + 1 5 x 2 + 1

=   3 10 . 1 x - 2 - 1 10 . 1 x + 2 + 1 5 . - x + 1 x 2 + 1

Passo 3

Agora calculamos a integral das frações parciais:

∫ x 2 + x x 4 - 3 x 2 - 4   d x = ∫ 3 10 . 1 x - 2 d x - ∫ 1 10 . 1 x + 2   d x + ∫ 1 5 . - x + 1 x 2 + 1 d x

= 3 10 ∫ 1 x - 2 d x - 1 10 ∫ 1 x + 2   d x + 1 5 ∫ - x + 1 x 2 + 1 d x

= 3 10 ∫ 1 x - 2 d x - 1 10 ∫ 1 x + 2   d x + 1 5 ∫ - x x 2 + 1 d x + ∫ 1 x 2 + 1 d x

= 3 10 ∫ 1 x - 2 d x - 1 10 ∫ 1 x + 2   d x - 1 5 ∫ x x 2 + 1 d x + 1 5 ∫ 1 x 2 + 1 d x

= 3 10 . l n x - 2 - 1 10 . l n x + 2 - 1 10 ∫ x x 2 + 1 d x + 1 5 . t g - 1 x   + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ x 2 + x x 4 - 3 x 2 - 4   d x = 3 10 . l n x - 2 - 1 10 . l n x + 2 - 1 10 ∫ x x 2 + 1 d x + 1 5 . t g - 1 x   + c

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Calcular a integral indefinida. ∫ d x x x 2 - x + 1 2
Calcule a integral indefinida. ∫ 3 x 2 2 x 3 - x 2 - 2 x + 1 d x
Calcule a integral indefinida. ∫ 2 x + 1 2 x 2 + 3 x - 2 d x