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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 26

Calcule a integral.

int (2 x^2 - 2 x - 1)/(x^3 - x^2) d x

Passo 1

Vamos avaliar a integral:

int (2 x^2 - 2 x - 1)/(x^3 - x^2) d x

A função pode ser escrita como:

(2 x^2 - 2 x - 1)/(x^3 - x^2) = (2 x^2 - 2 x - 1)/(x^2 ( x - 1 ))

Além disso, podemos resolver a integral reescrevendo-as na fórmula de frações parciais, que por se tratar de x^3 tera parte A , B e C :

(2 x^2 - 2 x - 1)/(x^3 - x^2) = (A)/(x) + (B)/(x^2) + (C)/(x - 1)

Multiplicando os termos, teremos:

(2 x^2 - 2 x - 1)/(x^3 - x^2) = (A (x^2 - x) + B (x - 1) + C x^2)/(x^3 - x^2)

Cortando os denominadores, podemos dizer que:

2 x^2 - 2 x - 1 = A (x^2 - x) + B (x - 1) + C x^2

Agora, precisamos encontrar os valores para A , B e C .

Passo 2

Vamos começar encontrando o valor de B , se x = 0 :

2 x^2 - 2 x - 1 = A (x^2 - x) + B (x - 1) + C x^2

2 . 0^2 - 2 . 0 - 1 = A (0^2 - 0) + B (0 - 1) + C . 0^2

- 1 = B (- 1)

B = 1

Agora, vamos avaliar o valor de C , quando x = 1 (para conseguirmos zerar os termos A e B ):

2 x^2 - 2 x - 1 = A (x^2 - x) + B (x - 1) + C x^2

2 . 1^2 - 2 . 1 - 1 = A (1^2 - 1) + B (1 - 1) + C . 1^2

- 1 = C

Agora, vamos encontrar o valor de A :

2 x^2 - 2 x - 1 = A (x^2 - x) + B (x - 1) + C x^2

Substituindo os valores de B e C :

2 x^2 - 2 x - 1 = A (x^2 - x) + 1 (x - 1) + ( - 1 ) x^2

2 x^2 - 2 x - 1 = A x^2 - A x + x - 1 - x^2

Unindo termos em comum:

3 x^2 - 3 x = A x^2 - A x

Isolando x^2 - x :

3 (x^2 - x) = A ( x^2 - x )

A = 3

Agora que encontramos os valores de A , B e C podemos substituir na equação.

Passo 3

Relembrando que, temos a integral:

int (2 x^2 - 2 x - 1)/(x^3 - x^2) d x

Pode ser reescrita como

int (2 x^2 - 2 x - 1)/(x^3 - x^2) d x = int ((A)/(x) + (B)/(x^2) + (C)/(x - 1)) d x

Substituindo os valores encontrados, temos:

int (2 x^2 - 2 x - 1)/(x^3 - x^2) d x = int ((3)/(x) + (1)/(x^2) - (1)/(x - 1)) d x

Então:

int (2 x^2 - 2 x - 1)/(x^3 - x^2) d x = int (3)/(x) d x + int (1)/(x^2) d x - int (1)/(x - 1) d x

Resolvendo:

int (2 x^2 - 2 x - 1)/(x^3 - x^2) d x = 3 ln 3 + ln |x - 1| - (1)/(x) + C

Resposta

int (2 x^2 - 2 x - 1)/(x^3 - x^2) d x = 3 ln 3 + ln |x - 1| - (1)/(x) + C

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