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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 34

Calcule a Integral.

int (x^4 + 6 x^3 + 10 x^2 + x)/(x^2 + 6 x + 10) d x

Passo 1

Antes de começar a solucionar a integral pro frações parciais, podemos manipular a fómula dada:

int (x^4 + 6 x^3 + 10 x^2 + x)/(x^2 + 6 x + 10) d x = int (x^2 ( x^2 + 6 x + 10 ) + x)/(x^2 + 6 x + 10) d x

Então:

int (x^4 + 6 x^3 + 10 x^2 + x)/(x^2 + 6 x + 10) d x = int x^2 + (x)/(x^2 + 6 x + 10) d x

Logo:

int (x^4 + 6 x^3 + 10 x^2 + x)/(x^2 + 6 x + 10) d x = int x^2 d x + int (x)/((x + 3)^2 + 1) d x

Se u = x + 3 , d u = d x e portant, x = u - 3 :

int (x)/(x^2 + 6 x + 10) d x = int (u - 3)/(u^2 + 1) d u

Podemos separar em: int (x)/(x^2 + 6 x + 10) d x = int (u)/(u^2 + 1) d u - int (3)/(u^2 + 1) d u

int (x)/(x^2 + 6 x + 10) d x = (1)/(2) ln |u^2 + 1| - 3 tg^(- 1) u + C

Substituindo u :

int (x)/(x^2 + 6 x + 10) d x = (1)/(2) ln |x^2 + 6 x + 10| - 3 tg^(- 1) ( x + 3 ) + C

Resposta

int (x)/(x^2 + 6 x + 10) d x = (1)/(2) ln |x^2 + 6 x + 10| - 3 tg^(- 1) ( x + 3 ) + C

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