Calcule a integral.

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x

Passo 1

Usando a identidade trigonométrica que diz que cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ; sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2 , podemos reescrever a função como:

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = ∫ 1 + cos ⁡ 2 x 2 1 - cos ⁡ 2 x 2 d x

Distribuindo, temos:

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = 1 4 ∫ ( 1 + cos ⁡ 2 x ) ( 1 - cos ⁡ 2 x ) d x

Por propriedade a - b a + b = a 2 - b 2 :

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = 1 4 ∫ ( 1 - cos 2 ⁡ 2 x ) d x

Usando a identidade trigonométrica que diz que cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 :

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = 1 4 ∫ 1 - 1 + cos ⁡ 4 x 2 d x

Reorganizando, temos:

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = 1 4 ∫ 1 - cos ⁡ 4 x 2 d x

Tirando a constante de dentro da integral, temos:

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = 1 8 ∫ 1 - cos ⁡ 4 x d x

Se ∫ cos ⁡ a x d x = 1 a sen ⁡ a x + C .

Resolvendo, temos:

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = 1 8 ∫ 1 - cos ⁡ 4 x d x

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = 1 8 x - 1 4 sen ⁡ 4 x + C

Multiplicando, temos:

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = x 8 - 1 32 sen ⁡ 4 x + C

Resposta

∫ sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x d x = x 8 - 1 32 sen ⁡ 4 x + C

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