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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 11

Calcule a integral.

int sen^2 x cos^2 x d x

Passo 1

Usando a identidade trigonométrica que diz que cos^2 x = (1 + cos 2 x)/(2) ; sen^2 x = (1 - cos 2 x)/(2) , podemos reescrever a função como:

int sen^2 x cos^2 x d x = int ((1 + cos 2 x)/(2)) ((1 - cos 2 x)/(2)) d x

Distribuindo, temos:

int sen^2 x cos^2 x d x = (1)/(4) int ( 1 + cos 2 x ) ( 1 - cos 2 x ) d x

Por propriedade (a - b) (a + b) = a^2 - b^2 :

int sen^2 x cos^2 x d x = (1)/(4) int ( 1 - cos^2 2 x ) d x

Usando a identidade trigonométrica que diz que cos^2 x = (1 + cos 2 x)/(2) :

int sen^2 x cos^2 x d x = (1)/(4) int (1 - (1 + cos 4 x)/(2)) d x

Reorganizando, temos:

int sen^2 x cos^2 x d x = (1)/(4) int ((1 - cos 4 x)/(2)) d x

Tirando a constante de dentro da integral, temos:

int sen^2 x cos^2 x d x = (1)/(8) int (1 - cos 4 x) d x

Se int cos a x d x = (1)/(a) sen a x + C .

Resolvendo, temos:

int sen^2 x cos^2 x d x = (1)/(8) int (1 - cos 4 x) d x

int sen^2 x cos^2 x d x = (1)/(8) (x - (1)/(4) sen 4 x) + C

Multiplicando, temos:

int sen^2 x cos^2 x d x = (x)/(8) - (1)/(32) sen 4 x + C

Resposta

int sen^2 x cos^2 x d x = (x)/(8) - (1)/(32) sen 4 x + C

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