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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 19

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais

∫ d x x 2 - 1 2

Passo 1

Como o problema nos pede para resolver a integral expressando o integrando como soma de frações parciais podemos reescrever nosso integrando como sendo

1 x 2 - 1 2 = 1 x - 1 ⋅ x + 1 2 = A x + 1 + B x + 1 2 + C x - 1 + D x - 1 2

Essa igualdade só é válida se numeradores e denominadores forem iguais. Manipulando o lado direito da equação chegaremos em

1 x - 1 ⋅ x + 1 2 = x 3 ⋅ A + C + x 2 ⋅ - A + B + C + D + x ⋅ - A - 2 B - - C + 2 D + ( A + B - C + D x - 1 ⋅ x + 1 2

Resolvendo o sistema linear resultado dessa igualdade vamos obter

a = b = d = 1 4   e   c = - 1 4

Passo 2

De posse dos dados anteriores podemos reescrever nossa equação como sendo

∫ 1 / 4 x + 1 + 1 / 4 x + 1 2 - 1 / 4 x - 1 + 1 / 4 x - 1 2   d x =  

∫ 1 / 4 x + 1 d x + ∫ 1 / 4 x + 1 2 d x - ∫ 1 / 4 x - 1 d x + ∫ 1 / 4 x - 1 2 d x

Resolvendo cada integral separadamente e usando uma constante de integração apenas (sendo a soma de cada uma das integrais)

i : ∫ 1 4 x + 1 d x = 1 4 ⋅ ln ⁡ x + 1 + C 1

i i : ∫ 1 / 4 x + 1 2 d x = - 1 4 ⋅ 1 x + 1   + C 2

i i i :   ∫ 1 / 4 x - 1 d x = 1 4 ⋅ ln ⁡ x - 1 + C 3  

i v : ∫ 1 / 4 x - 1 2 d x = - 1 4 ⋅ 1 x - 1   + C 4

Juntando tudo vamos obter

1 4 ⋅ ln ⁡ x + 1 - 1 4 ⋅ 1 x + 1 - 1 4 ⋅ ln ⁡ x - 1 - 1 4 ⋅ 1 x - 1 + C

Resposta

1 4 ⋅ ln ⁡ x + 1 - 1 4 ⋅ 1 x + 1 - 1 4 ⋅ ln ⁡ x - 1 - 1 4 ⋅ 1 x - 1 + C

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