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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 29

Calcule a integral.

int (2 x^2 - 1)/(( 4 x - 1 ) ( x^2 + 1 )) d x

Passo 1

Pela estrutura da nossa equação, e pelas regras de integração parcial. Conseguimos separar nossa função em duas partes com três termos:

int (2 x^2 - 1)/(( 4 x - 1 ) ( x^2 + 1 )) d x = int (A)/(4 x - 1) + (B x + C)/(x^2 + 1) d x

Então:

(2 x^2 - 1)/(( 4 x - 1 ) ( x^2 + 1 )) = int (A)/(4 x - 1) + (B x + C)/(x^2 + 1)

Reorganizando a equação, temos:

(2 x^2 - 1)/(( 4 x - 1 ) ( x^2 + 1 )) = (A (x^2 + 1) + ( B x + C ) ( 4 x - 1 ))/(( 4 x - 1 ) ( x^2 + 1 ))

Cortando os termos em comum do denominador, temos:

2 x^2 - 1 = A x^2 + A + 4 B x^2 - B x + 4 C x - C

Combinando os termos, temos:

2 x^2 - 1 = (A x^2 + 4 B x^2) + (- B x + 4 C) x + ( A - C )

2 x^2 - 1 = x^2 (A + 4 B) + (- B + 4 C) x + ( A - C )

Igualando as equações em comum, temos:

2 = A + 4 B ( I )

0 = - B + 4 C ( I I )

A - C = - 1 ( I I I )

Passo 2

Resolvendo o sistema, podemos dizer que :

2 = A + 4 B ( I )

0 = - B + 4 C ( I I )

A - C = - 1 ( I I I )

Então:

B = 4 C ( I I )

Substituindo em I I e I I I em I , temos:

C - 1 + 4 (4 C) = 2

17 C - 1 = 2

C = (3)/(17)

Portanto:

A = C - 1

A = (3)/(17) - 1 = - (14)/(17)

E também:

B = 4 C = (12)/(17)

Passo 3

Agora, tendo a equação :

int (2 x^2 - 1)/(( 4 x - 1 ) ( x^2 + 1 )) d x = int (A)/(4 x - 1) + (B x + C)/(x^2 + 1) d x

Substituindo os termos calculados:

int (2 x^2 - 1)/(( 4 x - 1 ) ( x^2 + 1 )) d x = int (- (14)/(17))/(4 x - 1) + ((12)/(17) x + (3)/(17))/(x^2 + 1) d x

Portanto:

int (2 x^2 - 1)/(( 4 x - 1 ) ( x^2 + 1 )) d x = - (14)/(17 (4)) int (4)/(4 x - 1) d x + (6)/(17) int (2 x)/(x^2 + 1) d x + (3)/(17) int (1)/(x^2 + 1) d x

Integrando:

int (2 x^2 - 1)/(( 4 x - 1 ) ( x^2 + 1 )) d x = - (7)/(34) ln |4 x - 1| + (6)/(17) ln (x^2 + 1) + (3)/(17) tg^(- 1) x + C

Resposta

int (2 x^2 - 1)/(( 4 x - 1 ) ( x^2 + 1 )) d x = - (7)/(34) ln |4 x - 1| + (6)/(17) ln (x^2 + 1) + (3)/(17) tg^(- 1) x + C

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