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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 22

Expresse os integrandos como soma de frações parciais e calcule as integrais

∫ 1 3   3 t 2 + t + 4 t 3 + t   d t

Passo 1

O problema nos pede para expressarmos o integrando sob a forma de frações parciais, para esse caso onde temos um polinômio irredutível (que não tem como fatorar) no denominador a estratégia é colocar um polinômio de grau menor que ele no numerador, assim

3 t 2 + t + 4 t 3 + t = 3 t 2 + t + 4 t ⋅ ( t 2 + 1 ) = A t + B t + C t 2 + 1

3 t 2 + t + 4 t ⋅ ( t 2 + 1 ) = A ⋅ t 2 + 1 + B t + C ⋅ t t ⋅ ( t 2 + 1 )

3 t 2 + t + 4 t ⋅ ( t 2 + 1 ) = t 2 ⋅ A + B + C ⋅ t + A t ⋅ ( t 2 + 1 )

Essa igualdade só é satisfeita se

A + B = 3

C = 1

A = 4

Dessa forma, teremos

A = 4 ,   B = - 1   e   C = 1

Conseguimos reescrever nossa integral como sendo

∫ 1 3   4 t + - t + 1 t 2 + 1   d t

Passo 2

Vamos resolver cada integral separadamente e de maneira indefinida para depois juntarmos em uma coisa só e aplicando os limites de integração

i : ∫ 4 t   d t = 4 ⋅ ln ⁡ t + C 1 i i : ∫ - t t 2 + 1   d t =

Fazendo t 2 + 1 = u → d u d t = 2 t → d u 2 = t   d t

- 1 2 ⋅ ∫ d u u = - ln ⁡ u 2 + C 2

Retornando para a variável x

→ - ln ⁡ t 2 + 1 2 + C 2

i i i : ∫ 1 t 2 + 1   d t = a r c t g t + C 3

Passo 3

Com o resultado anterior podemos aplicar os limites de integração e obteremos a resposta do problema. Assim,

4 ⋅ ln ⁡ t - ln ⁡ t 2 + 1 2 + a r c t g x 3 1 =  

4 ⋅ ln ⁡ 3 - ln ⁡ ( 3 ) 2   + 1 2 + a r c t g 3 - 4 ⋅ ln ⁡ 1 - ln ⁡ 1 2 + 1 2 + a r c t g 1 =

ln ⁡ 9 2 + π 12

Resposta

ln ⁡ 9 2 + π 12

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