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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 8

Calcule a integral.

int t^2 sin beta t d t

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Devemos calcular a seguinte integral:

int t^2 sin beta t d t

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

int u d v = (u v) - int v d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Na nossa integral a gente tem uma parte algébrica e uma trigonométrica. Pela ordem de prioridade teremos:

u = t^2

d v = sin beta t d t

Passo 2

Derivamos u pra achar d u :

(d u)/(d t) = 2 t -> d u = 2 t d t

E o que sobrou é d v :

d v = sin beta t d t

Integramos pra achar v :

int d v = int sin beta t d t

Pra resolver essa integral vamos usar uma substituição simples:

U = beta t

(d U)/(d t) = beta -> d t = (1)/(beta) d U

Então:

v = int sin U ((1)/(beta) d U)

v = (1)/(beta) int sin U d U = - (cos U)/(beta) = - (cos beta t)/(beta)

Agora a gente pode montar a integral:

int u d v = (u v) - int v d u

int t^2 sin beta t d t = t^2 (- (cos beta t)/(beta)) - int (- (cos beta t)/(beta)) (2 t d t)

int t^2 sin beta t d t = t^2 - (cos beta t)/(beta) + int (cos beta t)/(beta) (2 t d t)

Passo 3

Agora temos que resolver a integral:

int (cos beta t)/(beta) (2 t d t)

Mas pra isso vamos precisar usar a integração por partes de novo! Aqui teremos:

u = 2 t

d u = 2 d t

Agora o d v :

d v = cos beta t

v = int (cos beta t)/(beta) = (sin beta t)/(beta^2)

Montamos a integral por partes:

int u d v = (u v) - int v d u

int (cos beta t)/(beta) (2 t d t) = (2 t) ((sin beta t)/(beta^2)) - int (sin beta t)/(beta^2) (2 d t)

int (cos beta t)/(beta) (2 t d t) = (2 t) ((sin beta t)/(beta^2)) - (1)/(beta^2) int sin beta t (2 d t)

Passo 4

Agora resolvemos a integral:

int sin beta t = (- cos beta)/(beta)

Logo:

int (cos beta t)/(beta) (2 t d t) = (2 t)/(beta^2) sin beta t - (2)/(beta^2) ((- cos beta)/(beta))

= (2 t)/(beta) sin beta t + (2)/(beta^3) cos beta

Agora a gente volta pra integral original:

int t^2 sin beta t d t = t^2 (- (cos beta t)/(beta)) + (2 t)/(beta^2) sin beta t + (2)/(beta^3) cos beta

Rearrumando pra ficar no mesmo denominador:

int t^2 sin beta t d t = t^2 beta^2 (- (cos beta t)/(beta^3)) + (2 t beta)/(beta^3) sin beta t + (2)/(beta^3) cos beta

E colocando termos em evidência:

int t^2 s e n beta t d t = ((2 - t^2 beta^2) * c o s beta t + (2 t beta) * s e n beta t)/(beta^3)

Prontinho!

Resposta

int t^2 s e n beta t d t = ((2 - t^2 beta^2) * c o s beta t + (2 t beta) * s e n beta t)/(beta^3)

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