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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 36

Calcule a integral.

int_0^t e^s s e n (t - s) d s

Passo 1

Opa, bora resolver essa integral aqui:

int_0^t e^s s e n (t - s) d s

Pra isso vamos usar integração por partes:

int u d v = (u v) - int v d u

Como escolheremos o u e o dv? Para u basta usarmos a sequência LIATE:

Quem vem primeiro? Trigonométrica ou Exponencial?

Trigonométrica, não é? Então já sabemos:

u = s e n (t - s)

Para derivar u podemos usar a Regra da Cadeia, derivando a função de “dentro” vezes a função de “fora”:

d u = - cos (t - s) . d s

E

d v = e^s . d s

Integrando:

v = e^s

Passo 2

Agora ficou fácil, bora substituir:

int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s = e^s . s e n (t - s) - int_0^t e^s ( - cos (t - s) ) . d s

int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s = e^s . s e n (t - s) + int_0^t e^s cos (t - s) . d s

Passo 3

Outra integral complicada. Sendo assim faremos novamente:

U = cos (t - s) . d s -> d U = s e n (t - s) . d s

E:

d V = e^s . d s -> V = e^s

Substituindo:

int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s = e^s . s e n (t - s) + [e^s cos (t - s) - int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s]

int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s = e^s . s e n (t - s) + [e^s cos (t - s) - int_0^t e^s s e n (t - s) . d s]

Passo 4

Aqui já apareceu uma integral conhecida, não é? Então olhem o que vamos fazer !!

Mas antes a distributiva:

int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s = e^s . s e n (t - s) + e^s cos (t - s) - int_0^t e^s s e n (t - s) . d s

Passamos a integral para o termo à direita:

int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s + int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s = e^s . s e n (t - s) + e^s cos (t - s)

2 int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s = e^s . s e n (t - s) + e^s cos (t - s)

Isolando:

int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s = (e^s . s e n (t - s) + e^s cos (t - s))/(2) | [[t],[0]]

Aplicando o intervalo:

int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s

= (1)/(2) [(e^t . s e n (t - t) + e^t cos (t - t)) - (e^0 . s e n (t - 0) + e^0 cos (t - 0))]

= (1)/(2) [(e^t . s e n 0 + e^t cos 0) - (s e n (t) + cos (t))]

Chegamos em:

int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s = (1)/(2) [e^t - s e n (t) - cos (t)]

Resposta

int_0^t e^s . s e n (t - s) . d s = (1)/(2) [e^t - s e n (t) - cos (t)]

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