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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 65

Calcule o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas y = l n x , y = 0 e x = 2 em torno de cada eixo.

O eixo y ;

O eixo x .

Passo 1

Beleza, amigo? A questão nos pede e nós iremos aqui calcular o volume de uma região que rotaciona em torno de um eixo.

Primeiro, vamos ver qual é a região. Esse gráfico foi gerado utilizando o GeoGebra.

Na letra (a) vamos calcular o volume com a rotação em relação ao eixo y . Vamos aqui usar o método das cascas. O volume é dado por:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

Passo 2

Substituindo na integral, temos:

V = ∫ 1 2 2 π x ln ⁡ x d x

Vamos resolver essa integral pelo método de integração por partes, pois aqui temos um produto de funções para integrar e esse metodo é muito bom para essas situações!

Seja u = l n x     → d u = d x / x e d v = x d x     → v = x 2 / 2 . Vamos escrever como fica a integral

A integral por partes é:

∫     u d v = u v - ∫     v d u

Utilizando a nossa substituição:

V = 2 π 1 2 x 2 l n x 1 2 - ∫ 1 2 1 2 x d x

Passo 3

Vamos resolver a integral!

V = 2 π 2 ln ⁡ 2 - 0 - 1 4 x 2 1 2

V = 2 π 2 l n 2 - 3 4

Passo 4

Agora na letra (b) vamos calcular o volume com a rotação em relação ao eixo x .Vamos aqui suar o método dos discos. O volume é dado por:

V = ∫ a b π f x 2 d x

Substituindo na integral, temos:

V = ∫ 1 2 π l n x 2 d x

Vamos resolve essa integral novamente pela integração por partes! Seja u = l n x 2     → d u = 2 l n x x d x e d v = d x     → v = x . Vamos escrever como fica a integral:

V = π { x l n x 2 1 2 - ∫ 1 2 2 l n x d x

Passo 5

Vamos resolver a integral!

V = π { x l n x 2 1 2 - ∫ 1 2 2 l n x d x

A integral que temos acima também não é tão fácil de resolver. Vamos aplicar o método da substituição de variável aqui. Seja u = l n x       → d u = d x x e d v = d x   → v = x . Assim,

V = π 2 l n 2 2 - 2 x l n x 1 2 - ∫ 1 2 d x

V = π { 2 l n 2 2 - 4 l n 2 + 2 x 1 2

V = π 2 l n 2 2 - 4 l n 2 + 2

V = 2 π [ l n 2 2 - 2 l n 2 + 1 ]

Resposta

V = 2 π 2 l n 2 - 3 4   ;

V = 2 π [ l n 2 2 - 2 l n 2 + 1 ] .

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