Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 65
Calcule o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas , e em torno de cada eixo.
O eixo ;
O eixo .
Passo 1
Beleza, amigo? A questão nos pede e nós iremos aqui calcular o volume de uma região que rotaciona em torno de um eixo.
Primeiro, vamos ver qual é a região. Esse gráfico foi gerado utilizando o GeoGebra.
Na letra (a) vamos calcular o volume com a rotação em relação ao eixo . Vamos aqui usar o método das cascas. O volume é dado por:
Passo 2
Substituindo na integral, temos:
Vamos resolver essa integral pelo método de integração por partes, pois aqui temos um produto de funções para integrar e esse metodo é muito bom para essas situações!
Seja e . Vamos escrever como fica a integral
A integral por partes é:
Utilizando a nossa substituição:
Passo 3
Vamos resolver a integral!
Passo 4
Agora na letra (b) vamos calcular o volume com a rotação em relação ao eixo .Vamos aqui suar o método dos discos. O volume é dado por:
Substituindo na integral, temos:
Vamos resolve essa integral novamente pela integração por partes! Seja e . Vamos escrever como fica a integral:
Passo 5
Vamos resolver a integral!
A integral que temos acima também não é tão fácil de resolver. Vamos aplicar o método da substituição de variável aqui. Seja e . Assim,
Resposta
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