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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 33

Primeiro faça uma substituição e então use a integração por partes para avaliar a integral.

∫ sin ⁡ x d x

Passo 1

Esse problema precisa de calma e paciência! Vamos tentar resolve-lo da forma mais simples, pois ele demanda muitas integrações por partes, então só precisamos nos lembrar de três coisas: método da substituição, integrais e derivadas!

Inicialmente vamos fazer uma substituição, onde

t = x               x = t 2                     ;                 d x = 2 t   d t

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ sin ⁡ x d x = ∫ 2 t   sin ⁡ t   d t

Agora sim!! Usando integral por partes:

u = 2 t                     ;                 d u = 2 d t

d v = sin ⁡ t   d t                   ;                       v = - cos ⁡ t

Aplicando na integral, temos:

∫ sin ⁡ x d x = - 2 t cos ⁡ t - ∫ 2   ( - cos ⁡ t )   d t

Resolvendo...

∫ sin ⁡ x d x = - 2 t cos ⁡ t + 2 ∫   ( cos ⁡ t )   d t

∫ sin ⁡ x d x = - 2 t cos ⁡ t + 2 sin ⁡ t + C

Substituindo o valor de t , temos:

∫ sin ⁡ x d x = - 2 x cos ⁡ ( x ) + 2 sin ⁡ ( x ) + C

Prontinho!!

Resposta

∫ sin ⁡ x d x = - 2 x cos ⁡ ( x ) + 2 sin ⁡ ( x ) + C

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