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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.1 - Ex. 12

Calcule a integral:

int p^5 ln p d p

Passo 1

Nesse problema temos que calcular a seguinte integral:

int p^5 ln p d p

Analisando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e logarítmica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui.

Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

[[d,v,=,p^5,d,p,v,=,,?],[u,=,ln p,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,p^5,d,p,v,=,int p^5 d p =,(p^6)/(6),+,C],[u,=,ln p,d,u,=,(1)/(p),d,p]]

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace ln p) underset(d v)(ubrace p^5 d p) = underset(u)(ubrace ln p) underset(v)(ubrace ((p^6)/(6))) - int underset(v)(ubrace (p^6)/(6)) underset(d u)(ubrace (1)/(p) d p)

int p^5 ln p d p = (p^6 ln p)/(6) - (1)/(6) int p^5 d p = (p^6 ln p)/(6) - (1)/(6) ((p^6)/(6)) + C

int p^5 ln p d p = (p^6 ln p)/(6) - (p^6)/(36) + C = (p^6 (6 ln p - 1))/(36) + C

Não pode esquecer da constante, hein!

Resposta

int p^5 ln p d p = (p^6 (6 ln p - 1))/(36) + C

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Primeiro faça uma substituição e então use a integração por partes para avaliar a integral. ∫ x 5 e x 2 d x
Avalie a integral.int x^2 cos m x d x
Avalie a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. ∫ x ln ⁡ x d x ; u = ln ⁡ x d v = xd x
Primeiro faça uma substituição e então use a integração por partes para avaliar a integral. ∫ 1 4 e x d x
Avalie a integral.int cos ( ln x ) d x