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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 1

Avalie a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.

∫ x ln ⁡ x d x             ;     u = ln ⁡ x     d v = x   d x

Passo 1

Opaaa, bora lá! Temos que resolver a integral por partes:

∫ x ln ⁡ x d x            

E aqui ele ainda diz quem vai ser u e quem vai ser d v :

u = ln ⁡ x

d v = x   d x

Temos a seguinte fórmula:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Agora basta calcularmos a derivada e a integral:

u = ln ⁡ x                   →                 d u = 1 x d x

d v = 1 x 2 d x                 →                       v = x 2 2

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Agora vamos montar a integral:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

∫ x ln ⁡ x d x = ln ⁡ x × x 2 2 - ∫ x 2 2 × 1 x d x

Cortando o x na segunda integral:

∫ x ln ⁡ x d x = ln ⁡ x × x 2 2 - ∫ x 2 d x

∫ x ln ⁡ x d x = ln ⁡ x × x 2 2 - 1 2 ∫ x d x

Logo,

∫ x ln ⁡ x d x = ln ⁡ x × x 2 2 - 1 2 × x 2 2 + C

Temos então que:

∫ x ln ⁡ x d x = ln ⁡ x × x 2 2 - x 2 4 + C

Prontinho!!

Resposta

∫ x ln ⁡ x d x = ln ⁡ x × x 2 2 - x 2 4 + C

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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ x ln ⁡ 1 + x d x
Calcule a integral. ∫ 0 π t sen ⁡ 3 t d t
Calcule a integral. ∫ 0 1 2 cos - 1 ⁡ x d x
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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral. ∫ π 2 π θ 3 cos ⁡ θ 2 d θ