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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.1 - Ex. 34

Primeiro faça uma substituição e então use a integração por partes para avaliar a integral.

∫ 1 4 e x d x

Passo 1

Esse problema precisa de calma e paciência! Vamos tentar resolve-lo da forma mais simples, pois ele demanda muitas integrações por partes, então só precisamos nos lembrar de três coisas: método da substituição, integrais e derivadas!

Inicialmente vamos fazer uma substituição, onde

t = x               x = t 2                     ;                 d x = 2 t   d t

Como tem intervalos, os valores mudam, logo

t = 4 = 2

t = 1 = 1

Assim, podemos substituir!!

Passo 2

Calculando a integral, temos

∫ 1 4 e x d x = ∫ 1 2 2 t   e t d t

Agora sim!! Usando integral por partes:

u = 2 t                     ;                 d u = 2 d t

d v = e t   d t                   ;                       v = e t

Aplicando na integral, temos:

∫ 1 2 2 t   e t d t = 2 t e t 1 2 - ∫ 1 2 2   e t d t

Resolvendo...

∫ 1 2 2 t   e t d t = 2 t e t 1 2 - 2 e t 1 2

Substituindo os intervalos, temos:

∫ 1 2 2 t   e t d t = 2 × 2 e 2 - 1 × 2 e 1 - 2 e 2 - 2 e 1

∫ 1 2 2 t   e t d t = 4 e 2 - 2 e - 2 e 2 - 2 e

∫ 1 4 e x d x = ∫ 1 2 2 t   e t d t = 4 e 2 - 2 e - 2 ( e 2 - e )

∫ 1 4 e x d x = ∫ 1 2 2 t   e t d t = 2 e 2

Prontinho!!

Resposta

∫ 1 4 e x d x = ∫ 1 2 2 t   e t d t = 2 e 2

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