Calcule a integral:

∫ t sec 2 ⁡ 2 t d t

Passo 1

Nesse problema temos que calcular a seguinte integral:

∫ t sec 2 ⁡ 2 t d t

Analizando essa integral indefinida nós vemos um produto de funções de tipos diferentes (polinômio e trigonométrica) e isso indica o uso da integração por partes, ok? O método da substituição não funciona aqui.

Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função polinomial. Teremos então:

d v = sec 2 ⁡ 2 t d t v =   ? u = t d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = sec 2 ⁡ 2 t d t v = ∫ sec 2 ⁡ 2 t d t = tan ⁡ 2 t 2 + C u = t d u =   1 d t

Devemos lembrar que tan ⁡ t ' = sec 2 ⁡ t . A primitiva que precisávamos para achar v .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ t ⏟ u sec 2 ⁡ 2 t d t ⏟ d v = t ⏟ u tan ⁡ 2 t 2 ⏟ v - ∫ tan ⁡ 2 t 2 ⏟ v 1 d t ⏟ d u

∫ t sec 2 ⁡ 2 t d t = t tan ⁡ 2 t 2 - 1 2 ∫ tan ⁡ 2 t d t

Passo 4

Vamos precisar achar a integral ∫ tan ⁡ 2 t d t = ∫ sen ⁡ 2 t cos ⁡ 2 t d t . Para isso, vamos efetuar a seguinte substituição:

u = cos ⁡ 2 t d u = - 2 sen ⁡ 2 t d t   →   - d u 2 = sen ⁡ 2 t d t

A integral na variável u será uma integral imediata:

∫ tan ⁡ 2 t d t = ∫ 1 u - d u 2 = - 1 2 ∫ 1 u d u = - 1 2 ln ⁡ u + C = - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 t + C

Pronto.

Passo 5

Agora substituímos o resultado em:

∫ t sec 2 ⁡ 2 t d t = t tan ⁡ 2 t 2 - 1 2 ∫ tan ⁡ 2 t d t = t tan ⁡ 2 t 2 - 1 2 - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 t + C

∫ t sec 2 ⁡ 2 t d t = t tan ⁡ 2 t 2 + 1 4 ln ⁡ cos ⁡ 2 t + C

Não pode esquecer da constante.

Resposta

∫ t sec 2 ⁡ 2 t d t = t tan ⁡ 2 t 2 + 1 4 ln ⁡ cos ⁡ 2 t + C

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