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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 20

Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 20 -

∫ t g - 1 x x 2   d x

Passo 1

Utilizaremos o método udu vdv:

u = t g - 1 x

d u = 1 1 + x 2 d x

d v = 1 x 2 d x

v =   ∫ 1 x 2 d x = - 1 x

Utilizando a fórmula:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ t g - 1 x x 2   d x = - t g - 1 x x -   ∫ - 1 x ⋅ 1 1 + x 2 d x

Passo 2

Resolvendo a Integral:

- ∫ - 1 x 1 + x 2 d x =   ∫ 1 x ( 1 + x 2 ) d x

Realizando pelas frações parciais:

1 x ( 1 + x 2 ) = A x + B x + C 1 + x 2

1 x 1 + x 2 = A 1 + x 2 + B x + C x x 1 + x 2

1 = A + A x 2 + B x 2 + C x

1 = A + B x 2 + A + C x

Montando sistema de equação:

A + B = 0 A = 1 C = 0

B = - A ; B = - 1

Assim:

1 x - 1 x 1 + x 2

∫ 1 x d x - ∫ x 1 + x 2 d x = ln ⁡ x - ∫ x 1 + x 2 d x

Utilizando substituição tdt:

t = 1 + x 2

d t = 2 x   d x

d x = 1 d t = 1 2 x

Assim:

ln ⁡ x - 1 2 ∫ 1 1 + x 2 d x = ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2

Passo 3

Reunindo o cálculo das integrais:

- t g - 1 x x + ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2

Assim:

- 1 x t g - 1 x + ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

Resposta

- 1 x t g - 1 x + ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + C

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