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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 74

Use a integração por partes para estabelecer a fórmula de redução:

74 - ∫ t g h - 1 x   d x

Passo 1

Realizando pelo Método a:

Utilizando a fórmula:

∫ f - 1 x d x = x f - 1 x - ∫ f y d y   ,   s e n d o   y = f - 1 x

Para: f - 1 x = t g h - 1 x   e   f y = t g h y

∫ t g h - 1 x =   x t g h - 1 x -   ∫ t g h y d y

Passo 2

Resolvendo a Integral:

∫ t g h y d y

Dado: ∫ t g h y d y = ln ⁡ cosh ⁡ y + C

Assim:

∫ t g h y d y = ln ⁡ c o s h ⁡ ( y ) + C

Passo 3

Substituindo as informações:

xtgh - 1 x - ln ⁡ cosh ⁡ x

Substituindo y = f - 1 x

xtgh - 1 x - ln ⁡ cosh ⁡ t g h - 1 x + C

Passo 4

xtgh - 1 x - ln ⁡ cosh ⁡ t g h - 1 x + C

Precisamos derivar a função acima, deste modo teremos:

d d x = x t g h - 1 x - ln ⁡ ( cosh ⁡ ( t g - 1 x ) )

Vamos derivar a primeira parte primeiro:

d d x x t g h - 1 x

Faremos a derivada por método de multiplicação: f ' x g x + f x g ' x

1 t g h - 1 x + x s e c 2 ( x )

Por substituição trigonométrica, ver tabela no final do livro:

sec 2 ⁡ x = 1 1 - x 2

Deste modo :

d d x x t g h - 1 x = t g h - 1 x + x 1 - x 2

Resolvendo a segunda derivada:

d d x - ln ⁡ cosh ⁡ ( tanh - 1 ⁡ x =  

Utilizabdo a regra da cadeia, para: f g ' = f ' x ⋅ g ' |   g = c o s h ⁡ ( t g h - 1 x )

Assim:

d d g - ln ⁡ g ⋅ d d x ( cosh ⁡ ( t g h - 1 x ) )

Resolvendo:

- 1 g ⋅ s e n h t g h - 1 x ⋅ 1 cosh 2 ⁡ ( x )

Unindo e substiuido g, temos:

- s e n t g h - 1 x cosh ⁡ t g h - 1 x ⋅ 1 cosh 2 ⁡ ( x )

Dado por propriedade trigonométrica que: 1 cosh 2 ⁡ ( x ) ⁡ = sech 2 ⁡ ( x ) = 1 1 - x 2

Deste modo:

- s e n t g h - 1 x cosh ⁡ t g h - 1 x ⋅ 1 1 - x 2

Simplificando:

s e n t g h - 1 x cosh ⁡ t g h - 1 x = x

Juntando as derivadas obteremos:

t g h - 1 x + x 1 - x 2 - x 1 - x 2 = t g h - 1 x

Comprovado desta forma o método utilizado!

Passo 5

Utilizando pelo método b.

∫ tg h - 1 x ⁡ x d x  

Utilizando a fórmula:

∫ f - 1 x   d x = x f - 1 x - ∫ x d d x f - 1 x d x

∫ t g h - 1 x = x   t g h - 1 x - ∫ x d d x t g h - 1 x d x

Resolvendo: Utilizando a tabela de derivadas trigonométricas obteremos a derivada abaixo!

d d x t g h - 1 x = 1 1 - x 2

∫ t g h - 1 x = x   t g h - 1 x - ∫ x 1 1 - x 2 d x

Assim:

∫ t g h - 1 x = x   t g h - 1 x - ∫ x 1 - x 2 d x

Passo 6

Resolvendo a integral:

- ∫ x 1 - x 2 d x

Utilizando udu, temos:

u = 1 - x 2

d u = - 2 x   d x

d x = 1 d u = - 1 2 x

Susituindo:

- ∫ x u ⋅ - 1 2 x d u =   - ∫ - 1 2 u d u

+ 1 2 ∫ 1 u d u = 1 2 ln ⁡ u = 1 2 l n ⁡ ( 1 - x 2 )

Unindo os termos, teremos:

x t g h - 1 x + 1 2 ln ⁡ 1 - x 2 + c

Passo 7

Realizando a comprovação do método b:

d d x x t g h - 1 x + 1 2 ln ⁡ 1 - x 2

Realizando por partes:

Como já calculamos no passo 4, não vamos repetir a derivação do termo abaixo!

d d x x t g h - 1 x = t g h - 1 x + x 1 - x 2  

Realizando a segunda derivada:

d d x 1 2 ln ⁡ 1 - x 2 = 1 2 d d x ln ⁡ ( 1 - x 2 )  

Utilizando a regra da cadeia:

f g ' = f ' g ⋅ g ' |   g = 1 - x 2

d d g ln ⁡ g ⋅ d d x 1 - x 2

1 2 ⋅ 1 g ⋅ - 2 x =   - 2 x 2 g   g = 1 - x 2 =   - x 1 - x 2

Inserindo na fórmula:

t g h - 1 x + x 1 - x 2 - x 1 - x 2 = t g h - 1 x

Provado assim que ambos os métodos são válidos!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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