Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 74
Use a integração por partes para estabelecer a fórmula de redução:
74 -
Passo 1
Realizando pelo Método a:
Utilizando a fórmula:
Para:
Passo 2
Resolvendo a Integral:
Dado:
Assim:
Passo 3
Substituindo as informações:
Substituindo y =
Passo 4
Precisamos derivar a função acima, deste modo teremos:
Vamos derivar a primeira parte primeiro:
Faremos a derivada por método de multiplicação:
Por substituição trigonométrica, ver tabela no final do livro:
Deste modo :
Resolvendo a segunda derivada:
Utilizabdo a regra da cadeia, para:
Assim:
Resolvendo:
Unindo e substiuido g, temos:
Dado por propriedade trigonométrica que:
Deste modo:
Simplificando:
Juntando as derivadas obteremos:
Comprovado desta forma o método utilizado!
Passo 5
Utilizando pelo método b.
Utilizando a fórmula:
Resolvendo: Utilizando a tabela de derivadas trigonométricas obteremos a derivada abaixo!
Assim:
Passo 6
Resolvendo a integral:
Utilizando udu, temos:
Susituindo:
Unindo os termos, teremos:
Passo 7
Realizando a comprovação do método b:
Realizando por partes:
Como já calculamos no passo 4, não vamos repetir a derivação do termo abaixo!
Realizando a segunda derivada:
Utilizando a regra da cadeia:
Inserindo na fórmula:
Provado assim que ambos os métodos são válidos!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)