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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 30

Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 30 -

∫ cos - 1 ⁡ x x d x

Passo 1

Resolvendo a Integral:

t =   x ,   x = t 2 ,   d x = 2 t   d t

Substituindo:

∫ 2 t ⋅ cos - 1 ⁡ t t d t = 2 ∫ cos - 1 ⁡ t   d t  

Utilizando integração por partes:

u = cos - 1 ⁡ t

d u = - 1 1 - t 2

d v = 1   d t

v = t

2 ∫ u   d v = 2 u v - ∫ v   d u

2 ∫ cos - 1 ⁡ t   d t = t c o s - 1 t - ∫ t ⋅ - 1 1 - t 2 d t

2 ∫ cos - 1 ⁡ t   d t = 2 t c o s - 1 t + ∫ t 1 - t 2 d t

2 t cos - 1 ⁡ t + 2 ∫ t 1 - t 2 d t

Passo 2

Resolvendo a segunda Integral:

2 ∫ t 1 - t 2 d t

Usando substituição udu:

u =   1 - t 2

d u = 1 2 1 - t 2 ⋅ - 2 t

d x = 1 d u = 1 1 2 1 - t 2 ⋅ - 2 t

2 ∫ t u ⋅ 1 1 2 u ⋅ - 2 t d u = 2 ∫ t u ⋅ 1 - t u d u = 2 ∫ t u ⋅ - u t d u = 2 ∫ - 1   d u =   - 2 u

- 2 1 - t 2

Passo 3

Reunindo o cálculo das integrais:

2 t cos - 1 ⁡ t - 2 1 - t 2

Substituindo para: t =   x

2 x cos - 1 ⁡ x - 2 1 - x + C

Resposta

2 x cos - 1 ⁡ x - 2 1 - x + C

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