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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.1 - Ex. 66

Exercício 66:

Use a integração por partes para obter a fórmula:

∫ 1 - x 2 d x = 1 2 x   1 - x 2 + 1 2 ∫ 1 1 - x 2 d x

Passo 1

Primeiramente vamos calcular e separar por partes udu e vdv, sendo:

u =   1 - x 2

d u = u '

Podemos observar que du é a derivada de u, utilizando método da regra da cadeia:

Regra da Cadeia = f g ' = f ' g ⋅ g   |   g = 1 - x 2

Derivando obtemos que:

d u =   - x 1 - x 2

Para:

d v = 1   d x

v =   ∫ d v   d x  

Desta forma temos que v será a integral de dv.

Assim:

v = x

Substituindo na integral:

∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ 1 - x 2 = x 1 - x 2 - ∫ x ⋅ - x 1 - x 2 d x

∫ 1 - x 2 = x 1 - x 2 - ∫ - x 2 1 - x 2 d x

Passo 2

Para organizar a integral primeiramente vamos somar e subtrair 1 na expressão, observe:

∫ 1 - x 2 = x 1 - x 2 - ∫ 1 - x 2 - 1 1 - x 2 d x

Utilizaremos a regra da cadeia de Integral, separando os termos:

x 1 - x 2 - ∫ 1 - x 2 1 - x 2 d x - ∫ 1 1 - x 2 d x

Vamos simplificar a primeira integral, multiplicando numerador e denominador por 1 - x 2

∫ 1 - x 2 1 - x 2 ⋅ 1 - x 2 1 - x 2 d x =   ∫ 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 ⋅ 1 - x 2 d x =   ∫ 1 - x 2 1 - x 2 1 - x 2 d x =   ∫ 1 - x 2 d x

Inserindo na expressão que tínhamos e multiplicando os sinais, teremos:

∫ 1 - x 2 d x = x 1 - x 2 - ∫ 1 - x 2 d x +   ∫ 1 1 - x 2 d x

Passo 3

Observe que - ∫ 1 - x 2 d x , pode passar para o primeiro membro positivo, observe:

∫ 1 - x 2 d x + ∫ 1 - x 2 d x = x 1 - x 2 +   ∫ 1 1 - x 2 d x

Assim:

2 ∫ 1 - x 2 d x = x 1 - x 2 +   ∫ 1 1 - x 2 d x  

O que está multiplicando passa dividindo, observe:

∫ 1 - x 2 d x = x 1 - x 2 +   ∫ 1 1 - x 2 d x 2  

Isto é o mesmo que multiplicar ambas as partes por 1 2 ,   a s s i m :

∫ 1 - x 2 d x = 1 2 x 1 - x 2 + 1 2 ∫ 1 1 - x 2 d x

Fica demonstrado desta forma o que foi solicitado pelo enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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