Questão 34) Calcule a integral indefinida:

∫ π 4 3 π 4 x . c o t g   x .   c o s s e c   x   d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não resolve
  2. Além disso, Note que o integrando’ ‘ x . c o t g   x .   c o s s e c   x ' ' não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  3. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X ) e q x são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções

Passo 2

Esse problema, a primeira vista parece muito difícil não é mesmo? mas vamos tentar responder.

Usando passos de integração por partes. temos;

Seja f(x) = x derivando f’(x) = 1

g’(x) = c o t g   x   .   c o s s e c   x     i n t e g r a n d o         g(x) = -   c o s s e c   x  

Substituindo na formula, temos;

∫ x .   c o t g   x   .   c o s s e c   x   d x   = x   . c o s s e c     - ∫ -   c o s s e c   x   d x  

= x   . c o s s e c   x   + ∫   c o s s e c   x   d x

Note que não é fácil calcular ‘’   ∫   c o s s e c   x   d x ’’ certo? então por esse motivo e entre outros é importante fazer exercícios para ficar fixado essas integrais não triviais, certo.

( n o t a ;   ∫   c o s s e c   x   d x = ln | cossec x – cotg x | + C)

Fazendo C = 0 e substituindo na formula temos;

Passo 3

  ∫   c o s s e c   x   d x = - x . c o s s e c   x   + ln| cossec x – cotg x x|| 3 π 4 π 4  

=   -   1 2 2 π l n   ( 2 + 1   )   +   l n   ( 2 + 1   ) = 0,468

Resposta

∫ π 4 3 π 4 x . c o t g   x .   c o s s e c   x   d x = 0,468

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