Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 33
Calcule a integral indefinida
dt
Passo 1
Entendendo o problema
- note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não obterá bom resultado.
- Note que o integrando não aparece da forma [(), (), ()]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
- Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é onde )e são polinômios
Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.
Passo 2
Para resolver esse problema, primeiro devemos fazer uma mudança de variável. Seja t = x² então dt= 2xdx certo?
Substituindo no integrando, temos;
dt= (note que vamos desprezar o intervalo de integração nesses passos iniciais)
Passo 3
segundo passo importante é analisar a formula de integração por partes e aplica-la
dx
Note que devemos encontrar todos os termos da formula , então façamos
f(x)= = 1/x(
g’(x) = integrando g(x)= x²
substituindo na formula, temos
x².-dx simplificando o x, temos
- note que nessa integral podemos usar a regra da substituição. Vamos lá.
Passo 4
Seja u= x²-1 então du= 2xdx substituindo no integrando temos
Integrando temos;
voltando para x temos
= e substituindo na equação principal, temos;
Passo 5
x².-
x².-( )
E colocando em função de t , temos
x².-( )
Aplicando os intervalos de integração temos
Resposta
dt= 5 +1