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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.6 - Ex. 1a

a) int (2 x - 3)/((x - 1)^3) d x

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável para tentar trabalhar melhor com o denominador.

u = x - 1 ( * )

Derivando,

d u = d x

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa! Da substituição, temos que x = u + 1 .

Nossa integral era:

I = int (2 x - 3)/((x - 1)^3) d x

E vai ficar assim ó:

I = int (2 * (u + 1) - 3)/((u)^3) d u = int (2 u - 1)/(u^3) d u

Separando em duas integrais:

I = int (2 u - 1)/(u^3) d u = int (2)/(u^2) d u - int (1)/(u^3) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora é só terminar!

I = int (2)/(u^2) d u - int (1)/(u^3) d u = 2 * ((u^(- 2 + 1))/(- 2 + 1)) - 1 ((u^(- 3 + 1))/(- 3 + 1)) + c

Fazendo as contas:

I = - (2)/(u) + (1)/(2 u^2) + c

Voltando para x :

I = - (2)/((x - 1)) + (1)/(2 ( x - 1 )^2) + c

Resposta

- (2)/((x - 1)) + (1)/(2 ( x - 1 )^2) + c

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