b) ∫ x + 1 x ⋅ x - 2 ⋅ x + 3 d x

Passo 1

∫ x + 1 x ⋅ x - 2 ⋅ x + 3 d x

Analisando a integral, vemos que é interessante quebrar em frações parciais. Nesse caso é um pouco mais difícil, pois temos três termos no denominador. Então vamos com calma!

Vamos chamar o que queremos integrar de E e escreve-lo em frações parciais.

E = x + 1 x ⋅ x - 2 ⋅ x + 3 = A x + B x - 2 + C x + 3     ( i )

Deixando os denominadores iguais:

E = A ⋅ x - 2 ⋅ x + 3 + B ⋅ x ⋅ x + 3 + C ⋅ x ⋅ x - 2 x ⋅ x - 2 ⋅ x + 3

Passo 2

Fazendo as contas, temos:

E = A ⋅ x 2 + x - 6 + B ⋅ x 2 + 3 x + C ⋅ x 2 - 2 x x ⋅ x - 2 ⋅ x + 3

Arrumando a casa:

E = x 2 ⋅ A + B + C + x ⋅ A + 3 B - 2 C - 6 A x ⋅ x - 2 ⋅ x + 3

Agora vamos voltar para nossa relação ( i ) :

E = x + 1 x ⋅ x - 2 ⋅ x + 3 = x 2 ⋅ A + B + C + x ⋅ A + 3 B - 2 C - 6 A x ⋅ x - 2 ⋅ x + 3

Eita que coisa feia, mas pelo menos é só comparar os coeficientes que acaba essa parte! 😉

x + 1 ≡ x 2 ⋅ A + B + C + x ⋅ A + 3 B - 2 C - 6 A

A + B + C = 0 A + 3 B - 2 C = 1 - 6 A = 1

Logo, A = - 1 6

B + C = 1 6 3 B - 2 C = 7 6

Resolvendo o sistema, temos:

B = 3 10 e C = - 2 15

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

Passo 3

Agora é só terminar!

I = ∫ x + 1 x ⋅ x - 2 ⋅ x + 3 d x = ∫ ( - 1 6 ) x d x + ∫ ( 3 10 ) x - 2 d x + ∫ ( - 2 15 ) x + 3 d x

Tirando as constantes da integral:

I = - 1 6 ⋅ ∫ 1 x d x + 3 10 ⋅ ∫ 1 x - 2 d x - 2 15 ⋅ ∫ 1 x + 3 d x

Resolvendo:

I = - 1 6 ⋅ l n ⁡ | x | + 3 10 ⋅ l n ⁡ | x - 2 | - 2 15 ⋅ l n ⁡ | x + 3 | + c

Resposta

- 1 6 ⋅ l n ⁡ | x | + 3 10 ⋅ l n ⁡ | x - 2 | - 2 15 ⋅ l n ⁡ | x + 3 | + c

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