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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.6 - Ex. 1b

b) int (x + 1)/(x * (x - 2) * (x + 3)) d x

Passo 1

int (x + 1)/(x * (x - 2) * (x + 3)) d x

Analisando a integral, vemos que é interessante quebrar em frações parciais. Nesse caso é um pouco mais difícil, pois temos três termos no denominador. Então vamos com calma!

Vamos chamar o que queremos integrar de E e escreve-lo em frações parciais.

E = (x + 1)/(x * (x - 2) * (x + 3)) = (A)/(x) + (B)/(x - 2) + (C)/(x + 3) ( i )

Deixando os denominadores iguais:

E = (A * (x - 2) * (x + 3) + B * (x) * (x + 3) + C * (x) * (x - 2))/(x * (x - 2) * (x + 3))

Passo 2

Fazendo as contas, temos:

E = (A * (x^2 + x - 6) + B * (x^2 + 3 x) + C * (x^2 - 2 x))/(x * (x - 2) * (x + 3))

Arrumando a casa:

E = (x^2 * (A + B + C) + x * (A + 3 B - 2 C) - 6 A)/(x * (x - 2) * (x + 3))

Agora vamos voltar para nossa relação ( i ) :

E = (x + 1)/(x * (x - 2) * (x + 3)) = (x^2 * (A + B + C) + x * (A + 3 B - 2 C) - 6 A)/(x * (x - 2) * (x + 3))

Eita que coisa feia, mas pelo menos é só comparar os coeficientes que acaba essa parte! 😉

x + 1 -= x^2 * (A + B + C) + x * (A + 3 B - 2 C) - 6 A

{[[A + B + C = 0],[A + 3 B - 2 C = 1],[- 6 A = 1]])

Logo, A = - (1)/(6)

{[[B + C = (1)/(6)],[3 B - 2 C = (7)/(6)]])

Resolvendo o sistema, temos:

B = (3)/(10) e C = - (2)/(15)

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

Passo 3

Agora é só terminar!

I = int (x + 1)/(x * (x - 2) * (x + 3)) d x = int (( - (1)/(6) ))/(x) d x + int (( (3)/(10) ))/(x - 2) d x + int (( - (2)/(15) ))/(x + 3) d x

Tirando as constantes da integral:

I = - (1)/(6) * int (1)/(x) d x + (3)/(10) * int (1)/(x - 2) d x - (2)/(15) * int (1)/(x + 3) d x

Resolvendo:

I = - (1)/(6) * l n | x | + (3)/(10) * l n | x - 2 | - (2)/(15) * l n | x + 3 | + c

Resposta

- (1)/(6) * l n | x | + (3)/(10) * l n | x - 2 | - (2)/(15) * l n | x + 3 | + c

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