Calcule a integral:

int c o t g^3 x c o s s e c^3 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí.

Vamos precisar refletir. Temos um expoente ímpar na c o t g x , isso é um bizu para lembrarmos que:

(c o s s e c x)^' = - c o s s e c x c o t g x

O que a gente pode tentar fazer para usar isso é fazer esse produto aparecer e deixar o resto da integral em função de cossecante, para depois usar uma substituição bonitinha. Podemos escrever:

int c o t g^3 x c o s s e c^3 x d x = int c o t g^2 x c o s s e c^2 x (c o s s e c x c o t g x) d x

E lembrar que:

c o t g^2 x = c o s s e c^2 x - 1

Então, nossa integral fica:

int ( c o s s e c^2 x - 1 ) c o s s e c^2 x (c o s s e c x c o t g x) d x

Ih, conseguimos!

Passo 2

Agora é a hora de fazer a substituição bonitinha:

u = c o s s e c x , (d u)/(d x) = - c o s s e c x c o t g x :. - d u = c o s s e c x c o t g x d x

E a integral fica:

int (c o s s e c^2 x - 1) c o s s e c^2 x (c o s s e c x c o t g x) d x = - int (u^2 - 1) u^2 d u = int - u^4 + u^2 d u

Calculando a integral:

int - u^4 + u^2 d u = - (u^5)/(5) + (u^3)/(3)

Passo 3

Precisamos agora voltar a variável x :

u = c o s s e c x

int c o t g^3 x c o s s e c^3 x d x = - ((c o s s e c x)^5)/(5) + ((c o s s e c x)^3)/(3)

Mas a não podemos esquecer a constante de integração:

int c o t g^3 x c o s s e c^3 x d x = - ((c o s s e c x)^5)/(5) + ((c o s s e c x)^3)/(3) + C

Resposta

int c o t g^3 x c o s s e c^3 x d x = - ((c o s s e c x)^5)/(5) + ((c o s s e c x)^3)/(3) + C

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