Ache a área da região limitada pela curva x^2 = 4ay e y = 8a^3 / (x^2 + 4a^2)

Passo 1

Assumindo que a > 0 , nós temos que as curvas se encontram em dois pontos. Desenhando a situação teremos algo parecido com a figura abaixo:

Para achar estes pontos devemos igualar os valores de y para obter o valor de x :

8 a 3 x ² + 4 a ² = x 2 4 a

x 2 + 8 a 2 x 2 - 4 a 2 = 0

x 2 + 8 a 2 = n ã o   e x i s t e   r a í z e s   r e a i s

x 2 - 4 a 2 = 0

x ' = 2 a                               x ' ' = - 2 a

Então, temos uma área delimitada em cima pela curva y = 8 a 3 x ² + 4 a ² e em baixo por y = x 2 4 a , a direita por x = 2 a e a esquerda por x = - 2 a . Integrando nestas condições:

∫ 2 a - 2 a 8 a 3 x 2 + 4 a 2 - x 2 4 a . d x  

∫ 2 a - 2 a 8 a 3 x 2 + 4 a 2 . d x - ∫ 2 a - 2 a x 2 4 a . d x

8 a ³ ∫ 2 a - 2 a d x x 2 + 4 a 2 - 1 4 a ∫ 2 a - 2 a x ² . d x

Passo 2

Podemos resolver a primeira integral segundo o Teorema 8.3.2, onde as integrais das funções trigonométricas são dadas em função de a ²   e   u ² . Sendo assim,

u = x

a = 2 a

Derivando u: d u = d x

Substituindo:

8 a ³ ∫ 2 a - 2 a d x x 2 + 4 a 2 = 8 a ³ ∫ - 2 a 2 a d u u ² + ( 2 a ) ²  

Pelo mesmo Teorema:

8 a ³ ∫ - 2 a 2 a d u u ² + ( 2 a ) ² = 8 a ³ . 1 2 a . t g - 1 x 2 a | 2 a - 2 a = 4 a ² t g - 1 1 - t g - 1 - 1

Usando a calculadora:

4 a ² t g - 1 1 - t g - 1 - 1 = 4 a ² [ π 4 - ( - π 4 ) ] = 2 a ² π

Substituindo e integrando o segundo termo:

8 a ³ ∫ 2 a - 2 a d x x 2 + 4 a 2 - 1 4 a ∫ 2 a - 2 a x 2 . d x = 2 a 2 π - x 3 12 a | 2 a - 2 a = 2 a 2 π - 4 a 3 3

Nós usamos a > 0 porque quando a < 0 , a concavidade da curva x ² = 4 a y é voltada para baixo e estas duas curvas não se interceptam.

Resposta

Á r e a = 2 a 2 π - 4 a 3 3

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