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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 32

Nos Exercícios de 26 a 34, calcule a integral definida.

32 )   ∫ 1 2 1 d x x 4 x ² - 1  

Passo 1

Segundo o Teorema 8.3.1 as integrais das funções trigonométricas são dadas em função de u ² . Sendo assim, podemos colocar a integral em função de algum u ² . Para

∫ 1 2 1 d x x 4 x ² - 1

Podemos assumir que:

u = 2 x

Se isolarmos x:

u 2 = x

Derivando em ambos os lados:

d u 2 = d x

Substituindo e mudando os intervalos de integração:

∫ 1 2 1 d x x 4 x ² - 1 = ∫ 2 2 d u 2 u 2 u ² - 1 = ∫ 2 2 d u u u ² - 1

Pelo mesmo Teorema:

∫ 2 2 d u u u ² - 1 = sec - 1 ⁡ u | 2 2 + C = sec - 1 ⁡ 2 - sec - 1 ⁡ 2 + C

Passo 2

Para conseguir calcular o valor do inverso da secante podemos usar a definição 8.1.5, para valores de u ≥ 1 , temos:

y = sec - 1 ⁡ u         s e   e   s o m e n t e   s e           u = sec ⁡ y

Então:

y = sec - 1 ⁡ 2 → 2 = sec ⁡ y

z = sec - 1 ⁡ 2 → 2 = sec ⁡ z

Lembrando que:

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

2 = sec ⁡ y     →         2   = 1 cos ⁡ y         →             cos ⁡ y = 1 2

2 = sec ⁡ z             →                 2 = 1 cos ⁡ z           → cos ⁡ z = 1 2

Usando a definição 8.1.2:

y = cos - 1 ⁡ 1 2     →   sec - 1 ⁡ 2 =   cos - 1 ⁡ 1 2

z = cos - 1 ⁡ 1 2         →     sec - 1 ⁡ 2 = cos - 1 ⁡ 1 2

Substituindo:

sec - 1 ⁡ 2 - sec - 1 ⁡ 2 + C = cos - 1 ⁡ 1 2 - cos - 1 ⁡ 1 2 + C

Usando a calculadora:

cos - 1 ⁡ 1 2 - cos - 1 ⁡ 1 2 + C = π 3 - π 4 = π 12 + C

Resposta

∫ 1 2 1 d x x 4 x ² - 1 = π 12 + C

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