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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 42

Calcule a integral:

int tg^4 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

int t g^n x d x = (t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int t g^(n - 2) x d x

int sec^n x d x = (sec^(n - 2) x t g x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Podemos reduzir o expoente da tangente, usando nossa fórmulinha de redução:

int t g^4 x d x = (t g^3 x)/(3) - int t g^2 x d x

Passo 3

Vamos resolver essa integral aí que apareceu:

int t g^2 x d x

Lembrando da identidade trigonométrica que diz:

t g^2 x = sec^2 x - 1

E substituindo ali em cima:

int sec^2 x - 1 d x

Aí é só resolver, lembrando que:

int sec^2 x d x = t g x

int sec^2 x - 1 d x = t g x - x

Passo 4

Substituindo esse resultado na integral que queremos calcular:

int t g^4 x d x = (t g^3 x)/(3) - t g x + x

E não podemos esquecer da constante de integração:

int t g^3 4 x d x = (t g^3 x)/(3) - t g x + x + C

Resposta

int t g^3 4 x d x = (t g^3 x)/(3) - t g x + x + C

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