Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 45

Calcule a integral:

int_0^((pi)/(8)) t g^2 2 x d x

Passo 1

Precisamos calcular essa integral aí. Temos duas ferramentas: as fórmulas de redução:

int t g^n x d x = (t g^(n - 1) x)/(n - 1) - int t g^(n - 2) x d x

int sec^n x d x = (sec^(n - 2) x t g x)/(n - 1) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

E as identidades trigonométricas. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro a gente precisa deixar esse argumento da função tangente sendo uma variável sozinha, para usar nossa técnicas. Vamos fazer isso usando a substituição:

u = 2 x :. (d u)/(d x) = 2 :. (d u)/(2) = d x

Nossa integral fica:

(1)/(2) int t g^2 u d u

Passo 3

Vamos resolver essa integral, lembrando que:

t g^2 u = sec^2 u - 1

Substituindo na integral:

(1)/(2) int sec^2 u - 1 d u

E a gente sabe que:

int sec^2 u d u = t g u

Então:

(1)/(2) int sec^2 u - 1 d u = (t g u)/(2) - (u)/(2)

Voltando a x :

int t g^2 2 x d x = (t g 2 x)/(2) - x

Passo 4

Mas a nossa integral é definida, então precisamos fazer mais umas continhas ainda:

int_0^((pi)/(8)) t g^2 2 x d x = (t g 2 x)/(2) - x | ((pi)/(8))/(0) = (1)/(2) - (pi)/(8)

Resposta

int_0^((pi)/(8)) t g^2 2 x d x = (1)/(2) - (pi)/(8)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolve a integral abaixo:45 – int 4 tg^3 x
Resolve a integral abaixo:34 – int sec x t g^2 x d x
Resolve a integral abaixo:42 – int 3 sec^4 ( 3 x ) d x
Calcule a integral indefindaint (e^x d x)/(7 + e^(2 x))
Calcule a integral indefinidaint (d s)/(sqrt(2 s - s^2))