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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 18

Calcule a integral.

int (x^2 + 2 x - 1)/(x^3 - x) d x

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Queremos resolver a integral dada usando frações parciais. Para isso, vamos começar fatorando o denominador: x^3 - x = x (x^2 - 1) = x ( x + 1 ) ( x - 1 ) .

Assim,

(x^2 + 2 x - 1)/(x^3 - x) = (x^2 + 2 x - 1)/(x ( x - 1 ) ( x + 1 ))

Passo 2

Como o grau do numerador já é menor que o grau do denominador, podemos direto aplicar a decomposição. Note que todos os fatores do denominador são lineares e não se repetem:

(x^2 + 2 x - 1)/(x (x - 1) (x + 1)) = (A)/(x) + (B)/(x - 1) + (C)/(x + 1)

= (A (x^2 - 1) + B x (x + 1) + C x ( x - 1 ))/(x ( x - 1 ) ( x + 1 ))

Assim,

(A + B + C) x^2 + (B - C) x - A

= x^2 + 2 x - 1

Portanto,

{[[A + B + C = 1],[B - C = 2],[- A = - 1]])

Resolvendo esse sistema, obtemos A = 1 , B = 1 e C = - 1 . Desta forma,

(x^2 + 2 x - 1)/(x^3 - x)

= (1)/(x) + (1)/(x - 1) - (1)/(x + 1)

Passo 3

Assim, a integral fica

int (x^2 + 2 x - 1)/(x^3 - x) d x = int ((1)/(x) + (1)/(x - 1) - (1)/(x + 1)) d x

= ln | x | + ln | x - 1 | - ln |x + 1|

Portanto,

int (x^2 + 2 x - 1)/(x^3 - x) d x

= ln | x | + ln | x - 1 | - ln |x + 1| + C

Resposta

ln | x | + ln | x - 1 | - ln |x + 1| + C

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