Calcule a integral.

∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x   d x

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Queremos resolver a integral dada usando frações parciais. Para isso, vamos começar fatorando o denominador: x 3 - x = x x 2 - 1 = x ( x + 1 ) ( x - 1 ) .

Assim,

x 2 + 2 x - 1 x 3 - x = x 2 + 2 x - 1 x ( x - 1 ) ( x + 1 )

Passo 2

Como o grau do numerador já é menor que o grau do denominador, podemos direto aplicar a decomposição. Note que todos os fatores do denominador são lineares e não se repetem:

x 2 + 2 x - 1 x x - 1 x + 1 = A x + B x - 1 + C x + 1

= A x 2 - 1 + B x x + 1 + C x ( x - 1 ) x ( x - 1 ) ( x + 1 )

Assim,

A + B + C x 2 + B - C x - A

= x 2 + 2 x - 1

Portanto,

A + B + C = 1 B - C = 2 - A = - 1

Resolvendo esse sistema, obtemos A = 1 , B = 1 e C = - 1 . Desta forma,

x 2 + 2 x - 1 x 3 - x

= 1 x + 1 x - 1 - 1 x + 1

Passo 3

Assim, a integral fica

∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x   d x = ∫ 1 x + 1 x - 1 - 1 x + 1 d x

= ln ⁡ | x | + ln ⁡ | x - 1 | - ln ⁡ x + 1

Portanto,

∫ x 2 + 2 x - 1 x 3 - x   d x

= ln ⁡ | x | + ln ⁡ | x - 1 | - ln ⁡ x + 1 + C

Resposta

ln ⁡ | x | + ln ⁡ | x - 1 | - ln ⁡ x + 1 + C

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