Calcule a integral.

∫ 3 x 2 + x + 4 x 4 + 3 x 2 + 2 d x

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos calcular a integral

∫ 3 x 2 + x + 4 x 4 + 3 x 2 + 2 d x

Precisamos calcular a integral e para isso vamos usar a técnica das frações parciais.

Mas antes disso, vamos fatorar o denominador descobrindo suas raízes.

Primeiro vamos fazer x 2 = t :

t 2 + 3 t + 2 = 0

As raízes dessa equação são - 1 e - 2 . Assim, podemos escrever t 2 + 3 t + 2 = ( t + 1 ) ( t + 2 ) . Voltando a variável x , temos que

x 4 + 3 x 2 + 2 = ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 2 )

Assim, fazendo a decomposição em fatores:

3 x 2 + x + 4 x 4 + 3 x 2 + 2 = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 + 2 = A x + B x 2 + 2 + ( C x + D ) ( x 2 + 1 ) x 4 + 3 x 2 + 2

Bora lá!

Passo 2

Desta forma, por igualdade de polinômios...

A + C x 3 + B + D x 2 + 2 A + C x + 2 B + D = 3 x 2 + x + 4

Assim, temos de cara que A + C = 0 ⇒ A = - C . Portanto

2 A + C = 1

2 A - A = 1

A = 1

Além disso, temos o sistema

B + D = 3 2 B + D = 4

Assim, B = 1 e D = 2 . Portanto,

3 x 2 + x + 4 x 4 + 3 x 2 + 2 = x x 2 + 1 + 1 x 2 + 1 - x x 2 + 2 + 2 x 2 + 2

Bora lá!

Passo 3

Desta forma, temos que

∫ 3 x 2 + x + 4 x 4 + 3 x 2 + 2 d x = ∫ x x 2 + 1 d x + ∫ 1 x 2 + 1 d x - ∫ x x 2 + 2 d x + 2 ∫ 1 x 2 + 2 d x

As primeiras três integrais são imediatas:

∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 )

∫ 1 x 2 + 1 d x = a r c t g   x

∫ x x 2 + 2 d x = 1 2 ln ⁡ x 2 + 2

Já a última integral é simplificada se fizermos x = 2   t ⇒ d x = 2   d t :

2 ∫ 1 x 2 + 2 d x = 2 ∫ 1 2 t 2 + 2 2   d t = 2 ∫ 1 t 2 + 1 d t

2 ∫ 1 x 2 + 2 d x = 2   a r c t g   t

2 ∫ 1 x 2 + 2 d x = 2   a r c t g   x 2

Portanto,

∫ 3 x 2 + x + 4 x 4 + 3 x 2 + 2 d x = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + a r c t g   x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 2 + 2   a r c t g   x 2 + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + a r c t g   x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 2 + 2   a r c t g   x 2 + C

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