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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.4 - Ex. 30

Calcule a integral.

int (3 x^2 + x + 4)/(x^4 + 3 x^2 + 2) d x

Passo 1

E aí! tudo certinho?

Nesse problema queremos calcular a integral

int (3 x^2 + x + 4)/(x^4 + 3 x^2 + 2) d x

Precisamos calcular a integral e para isso vamos usar a técnica das frações parciais.

Mas antes disso, vamos fatorar o denominador descobrindo suas raízes.

Primeiro vamos fazer x^2 = t :

t^2 + 3 t + 2 = 0

As raízes dessa equação são - 1 e - 2 . Assim, podemos escrever t^2 + 3 t + 2 = ( t + 1 ) ( t + 2 ) . Voltando a variável x , temos que

x^4 + 3 x^2 + 2 = ( x^2 + 1 ) ( x^2 + 2 )

Assim, fazendo a decomposição em fatores:

(3 x^2 + x + 4)/(x^4 + 3 x^2 + 2) = (A x + B)/(x^2 + 1) + (C x + D)/(x^2 + 2) = ((A x + B) (x^2 + 2) + ( C x + D ) ( x^2 + 1 ))/(x^4 + 3 x^2 + 2)

Bora lá!

Passo 2

Desta forma, por igualdade de polinômios...

(A + C) x^3 + (B + D) x^2 + (2 A + C) x + (2 B + D) = 3 x^2 + x + 4

Assim, temos de cara que A + C = 0 => A = - C . Portanto

2 A + C = 1

2 A - A = 1

A = 1

Além disso, temos o sistema

{[[B + D = 3],[2 B + D = 4]])

Assim, B = 1 e D = 2 . Portanto,

(3 x^2 + x + 4)/(x^4 + 3 x^2 + 2) = (x)/(x^2 + 1) + (1)/(x^2 + 1) - (x)/(x^2 + 2) + (2)/(x^2 + 2)

Bora lá!

Passo 3

Desta forma, temos que

int (3 x^2 + x + 4)/(x^4 + 3 x^2 + 2) d x = int (x)/(x^2 + 1) d x + int (1)/(x^2 + 1) d x - int (x)/(x^2 + 2) d x + 2 int (1)/(x^2 + 2) d x

As primeiras três integrais são imediatas:

int (x)/(x^2 + 1) d x = (1)/(2) ln ( x^2 + 1 )

int (1)/(x^2 + 1) d x = a r c t g x

int (x)/(x^2 + 2) d x = (1)/(2) ln (x^2 + 2)

Já a última integral é simplificada se fizermos x = sqrt(2) t => d x = sqrt(2) d t :

2 int (1)/(x^2 + 2) d x = 2 int (1)/(2 t^2 + 2) sqrt(2) d t = sqrt(2) int (1)/(t^2 + 1) d t

2 int (1)/(x^2 + 2) d x = sqrt(2) a r c t g t

2 int (1)/(x^2 + 2) d x = sqrt(2) a r c t g ((x)/(sqrt(2)))

Portanto,

int (3 x^2 + x + 4)/(x^4 + 3 x^2 + 2) d x = (1)/(2) ln ( x^2 + 1 ) + a r c t g x - (1)/(2) ln (x^2 + 2) + sqrt(2) a r c t g ((x)/(sqrt(2))) + C

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

(1)/(2) ln ( x^2 + 1 ) + a r c t g x - (1)/(2) ln (x^2 + 2) + sqrt(2) a r c t g ((x)/(sqrt(2))) + C

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