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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 28

Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 28 -

∫ x 2 + 6 x x 2 + 3 2 d x

Passo 1

Resolvendo a Integral:

∫ x 2 + 6 x x 2 + 3 2 d x =   ∫ x 2 x 2 + 3 2 + 6 x x 2 + 3 2 d x

∫ x 2 x 2 + 3 2 d x +   6 ∫ x x 2 + 3 2 d x

Realizaremos cada uma das integrais separadas:

Resolvendo a primeira:

∫ x 2 x 2 + 3 2 d x

x = 3   u

d x = 3   d u

Substituindo:

∫ 3 u 2 3 u 2 + 3 2 3 d u

Simplificando:

∫ 3 u 2 3 u 2 + 3 2 3 d u = ∫ 3 u 2 9 u 2 + 1 2 3 d u =   ∫ 3 u 2 3 u 2 + 1 2 d u =   ∫ 3 1 2 u 2 3 u 2 + 1 2 d u =   ∫ u 2 3 1 2 u 2 + 1 2 d u

1 3 ∫ u 2 ( u 2 + 1 ) d u

Realizando a integral por frações parciais:

∫ u 2 u 2 + 1 2 d u

u 2 u 2 + 1 2 = A u + B ( u 2 + 1 ) + C u + D u 2 + 1 2

u 2 u 2 + 1 2 = A u + B u 2 + 1 + C u + D u 2 + 1 2

u 2 = A u 3 + B u 2 + A u + B + C u + D

u 2 = A u 3 + B u 2 + A + C u + B + D

A = 0 B = 1 A + C = 0 B + D = 0

Assim:

A = 0 ; B = 1 ; C = 0 ; D = - 1

0 u + 1 ( u 2 + 1 ) + 0 u - 1 u 2 + 1 2 = 1 ( u 2 + 1 ) - 1 u 2 + 1 2

∫ 1 u 2 + 1 d u - ∫ 1 u 2 + 1 2

t g - 1 u - ∫ 1 u 2 + 1 2 d u

Utilizando a fórmula 33 da página 630:

∫ d x a 2 + x 2 2 = x 2 a 2 a 2 + x 2 + 1 2 a 3 t g - 1   x a + C  

Sendo a = 1, substituindo teremos:

∫ 1 1 + u 2 2 d x = - u 2 1 + u 2 - 1 2 t g - 1 u + C

Unindo os da primeira Integral e inserindo na fórmula:

t g - 1 u - u 2 1 + u 2 - 1 2 t g - 1 u + 6 ∫ x x 2 + 3 2 d x

Substituindo u = x 3

t g - 1 x 3 - x 3 2 1 + x 3 2 - 1 2 t g - 1 x 3 + 6 ∫ x x 2 + 3 2 d x

Passo 2

Resolvendo a segunda Integral:

6 ∫ x x 2 + 3 2 d x

t = x 2 + 3

d t = 2 x   d x

d x = 1 d t = 1 2 x

∫ x t 2 ⋅ 1 2 x d t =   ∫ 1 2 t 2 d t = 6 2 ∫ 1 t 2 d t = - 3 ⋅ 1 t =   - 3 t =   - 3 ( 3 + x 2 )

Passo 3

Reunindo o cálculo das integrais:

t g - 1 x 3 - x 3 2 1 + x 3 2 - 1 2 t g - 1 x 3 - 3 3 + x 2 + C

Assim:

t g - 1 x 3 - x 2 3 1 + x 2 3 - 1 2 t g - 1 x 3 - 3 3 + x 2 + C

Deste modo:

1 2 t g - 1 x 3 - 1 2 3 ⋅ x x 2 + 3 3 - 3 3 + x 2 + C

Organizando os termos:

1 2 t g - 1 x 3 - 1 2 3 ⋅ 3 x x 2 + 3 - 3 3 + x 2 + C

Resposta

1 2 t g - 1 x 3 - 1 2 3 ⋅ 3 x x 2 + 3 - 3 3 + x 2 + C

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