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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 58

Exercício: 58 - Determine, com precisão de duas casas decimais, a abscissa do centroide dessa região.

Passo 1

Observamos que primeiramente calcularemos a área:

A = ∫ 3 5 4 x 2 + 13 x - 9 x 3 + 2 x 2 - 3 x d x =   ∫ 4 x 2 + 13 x - 9 x ( x 2 + 2 x - 3 ) d x =   ∫ 4 x 2 + 13 x - 9 x ( x + 3 ) ( x - 1 ) d x

Utilizaremos o método das frações parciais:

4 x 2 + 13 x - 9 x ( x + 3 ) ( x - 1 ) = A x + B x + 3 + C x - 1

Tirando mmc:

4 x 2 + 13 x - 9 x ( x + 3 ) ( x - 1 ) = A x + 3 x - 1 + B x x - 1 + C ( x ) ( x + 3 ) x ( x + 3 ) ( x - 1 )

Cortando os denominadores teremos e resolvendo os produtos notáveis teremos:

4 x 2 + 13 x - 9 = A x 2 + 2 A x - 3 A + B x 2 - B x + C x 2 + 3 C x

Unindo os termos evidentes:

4 x 2 + 13 x - 9 = A + B + C x 2 + 2 A - B + 3 C x - 3 A

Montando um sistema de equações:

A + B + C = 4 2 A - B + 3 C = 13 - 3 A = - 9

Achando A:

- 3 A = - 9 ; A = - 9 - 3 ; A = 3

Substiuindo A na primeira equação:

3 + B + C = 4 ; B = 1 - C

Substituindo B na segunda equação:

2 3 - 1 - C + 3 C = 13

6 - 1 + C + 3 C = 13 ; 5 + 4 C = 13 ; 4 C = 13 - 5 ; 4 C = 8 ; C = 8 4 ; C = 2

Com B é 1 - C , logo B = 1 - 2 ; B = - 1

Achamos assim os termos:

A = 3 ; B = - 1 ; C = 2

Reescrevendo na integral:

A = ∫ 3 5 3 x - 1 x + 3 + 2 x - 1 d x

Passo 2

Resolvendo a integral:

A = ∫ 3 5 3 x - 1 x + 3 + 2 x - 1 d x

Separando a integral temos:

A = 3 ∫ 3 5 1 x d x - ∫ 3 5 1 x + 3 d x + 2 ∫ 3 5 1 x - 1 d x

A = 3 ln ⁡ x - ln ⁡ x + 3 + 2 ln ⁡ x - 1 3 5

Resolvendo os valores limites e achando o valor de A:

A = 3 ln ⁡ 5 - ln ⁡ 8 + 2 ln ⁡ 4 - 3 ln ⁡ 3 - ln ⁡ 6 + 2 ln ⁡ 2  

A = 3 ln ⁡ 5 - ln ⁡ 8 + 2 ln ⁡ 4 - 3 ln ⁡ 3 + ln ⁡ 6 - 2 ln ⁡ 2

Dado a expressão de simplificação:

ln ⁡ a c = c ⋅ l n a

A = ln ⁡ 5 3 - ln ⁡ 2 3 + 2 ln ⁡ 2 2 - 3 ln ⁡ 3 + ln ⁡ 6 - 2 ln ⁡ 2

A = ln ⁡ 5 3 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 - 3 + ln ⁡ 6

A = ln ⁡ 5 3 ⋅ 3 - 3 ⋅ 6 - ln ⁡ 2

A = ln ⁡ 250 9 - ln ⁡ 2 = ln ⁡ 250 9 2 = ln ⁡ 125 9

Passo 3

O exercício pediu a centroide: x -

Assim:

x - = 1 A ∫ 3 5 x ( 4 x 2 + 13 x - 9 ) x 3 + 2 x 2 - 3 x   d x = 1 A ∫ 3 5 x ( 4 x 2 + 13 x - 9 ) x ( x 2 + 2 x - 3 )   d x = 1 A ∫ 3 5 4 x 2 + 13 x - 9 x 2 + 2 x - 3   d x

Calcularemos a integral indefinida de:

∫ 4 x 2 + 13 x - 9 x 2 + 2 x - 3 d x

Fazendo a divisão por polinômios:

p ( x ) q ( x ) = 4 x 2 + 13 x - 9 x 2 + 2 x - 3

Divisão = 2 e resto = 5x + 3

��� 4 + 5 x + 3 x 2 + 2 x - 3 d x =   ∫ 4   d x + ∫ 5 x + 3 x 2 + 2 x - 3 d x = 4 x + ∫ 5 x + 3 ( x + 3 ) ( x - 1 ) d x

Resolvendo a integral pelo método de frações parciais:

∫ 5 x + 3 ( x + 3 ) ( x + 1 ) d x

5 x + 3 ( x + 3 ) ( x - 1 ) = A x + 3 + B x - 1

Tirando mmc:

5 x + 3 ( x + 3 ) ( x - 1 ) = A x - 1 + B ( x + 3 ) ( x + 3 ) ( x - 1 )

Assim:

5 x + 3 = A x - A + B x + 3 B

5 x + 3 = A + B x - A + 3 B

A + B = 5 - A + 3 B = 3

B = 5 - A

- A + 15 - 3 A = 3 ;   - 4 A + 15 = 3 ;   - 4 A = - 12 ; A = 12 4 ; A = 3

B = 5 - A ; B = 5 - 3 ; B = 2

Inserindo a integral:

x - = 1 A 4 x + 3 ∫ 1 x + 3 d x + 2 ∫ 1 x - 1 d x

x - = 1 A 4 x + 3 ln ⁡ x + 3 + 2 ln ⁡ x - 1

Passo 4

Aplicando os limites de integração:

x - = 1 A ⋅ 4 x + 3 ln ⁡ x + 3 + 2 ln ⁡ x - 1 3 5

x - = 1 A ⋅ 20 + 3 ln ⁡ 8 + 2 ln ⁡ 4 - 12 + 3 ln ⁡ 6 + 2 ln ⁡ 2

x - = 1 A ⋅ 20 + 3 ln ⁡ 8 + 2 ln ⁡ 4 - 12 - 3 ln ⁡ 6 - 2 ln ⁡ 2

x - = 1 A ⋅ 8 + 9 ln ⁡ 2 + 4 ln ⁡ 2 - 3 ln ⁡ 6 - 2 ln ⁡ 2

x - = 1 A 8 + 11 ln ⁡ 2 - 3 ln ⁡ 6

Dado:

A = ln ⁡ 125 9

Logo:

x - = 1 ln ⁡ 125 9 ⁡ ⋅ 8 + 11 ln ⁡ 2 - 3 ln ⁡ 6

Realizando na calculadora teremos aproximado:

ln ⁡ 125 9 ≈ 2,63109

11 ln ⁡ 2 ≈ 7,62462

3 ln ⁡ 6 ≈ 5,37528

x - = 1 2,63109 ⋅ 8 + 7,62462 - 5,37528

x - = 10,24934 2,63109 ; x ≈ 3,89547

Como é para considerar 2 casas decimais, temos que:

x - = 3,90

Resposta

x - = 3,90

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