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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 27

Use a tabela de integrais ao final do livro para calcular as integrais 27 -

∫ x 3 + x + 1 x 2 + 1 2 d x

Passo 1

Resolvendo a Integral:

∫ x 3 + x + 1 x 2 + 1 2 d x =   ∫ x 3 x 2 + 1 2 + x x 2 + 1 2 + 1 x 2 + 1 2 d x

∫ x 3 x 2 + 1 2 d x +   ∫ x x 2 + 1 2 d x + ∫ 1 x 2 + 1 2 d x

Realizaremos cada uma das integrais separadas:

Realizando a primeira por substituição u d u :

u = x 2 + 1 ;   x 2 = u - 1

d u = 2 x   d x

d x = 1 d u = 1 2 x

∫ x 3 u 2 ⋅ 1 2 x d u = ∫ x 2 u 2 ⋅ 1 2 d u = 1 2 ⋅ ∫ u - 1 u 2 d u = 1 2 ∫ u u 2 - 1 u 2 d u = 1 2 ∫ 1 u d u -   ∫ u - 2 d u

1 2 ln ⁡ u + 1 2 ⋅ 1 u = 1 2 ln ⁡ u + 1 2 u = 1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + 1 2 ( 1 + x 2 )

Passo 2

Resolvendo a segunda Integral:

∫ x x 2 + 1 2 d x

t = x 2 + 1

d t = 2 x   d x

d x = 1 d t = 1 2 x

∫ x t 2 ⋅ 1 2 x d t =   ∫ 1 2 t 2 d t = 1 2 ∫ 1 t 2 d t = - 1 2 ⋅ 1 t =   - 1 2 t =   - 1 2 ( 1 + x 2 )

Resolvendo a Terceira Integral:

∫ 1 1 + x 2 2 d x

Utilizando a fórmula 33 da página 630:

∫ d x a 2 + x 2 2 = x 2 a 2 a 2 + x 2 + 1 2 a 3 t g - 1   x a + C  

Sendo a = 1, substituindo teremos:

∫ 1 1 + x 2 2 d x = x 2 ( 1 + x 2 ) + 1 2 t g - 1 x + C

Passo 3

Reunindo o cálculo das integrais:

1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + 1 2 ( 1 + x 2 ) - 1 2 1 + x 2 + x 2 ( 1 + x 2 ) + 1 2 t g - 1 x + C

Assim:

1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + x 2 ( 1 + x 2 ) + 1 2 t g - 1 x + C

Resposta

1 2 ln ⁡ 1 + x 2 + x 2 ( 1 + x 2 ) + 1 2 t g - 1 x + C

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