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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 60a

Exercício: 60 a - Muitas reações químicas são o resultado da interação de duas moléculas que sofrem modificação para produzir um novo produto. A velocidade da reação depende, em geral, da concentração dos dois tipos de moléculas. Se a é a quantidade da substância A e b é a quantidade da substância B no tempo t = 0, sendo x a quantidade do produto no instante t, então a velocidade de formação de x pode ser dada pela equação diferencial:

d x d t = K ( a - x ) ( b - x )

Ou

1 ( a - x ) ( b - x ) d x d t = K  

onde k é uma constante para a reação. Integre ambos os lados dessa equação para obter uma relação entre x e t (a) se a = b, considere que x = 0 quando t = 0.

Passo 1

Vamos calcular a integral primeiramente, sendo:

1 ( a - x ) ( b - x ) d x d t = K  

Logo:

d x = K ( a - x ) ( b - x )   d t ; K d t = d x ( a - x ) ( b - x )

Considerando a = b, temos:

∫ d x a - x a - x d x = ∫ K   d t

∫ d x a - x 2 d x = K t

Realizando por substituição udu:

u = a - x

d u = - 1

d x = 1 d u = - 1

- ∫ d u u 2 = K t

- ∫ u - 2 d u = K t

- u - 2 + 1 - 2 + 1 = K t

- u - 1 - 1 = K t

- - u - 1 = K t

u - 1 = K t

1 u = K t

Substituindo para u = a - x

1 a - x = K t + C

Passo 2

Vamos descobrir C: Para x = 0 ; t = 0

1 a - 0 = K ⋅ 0 + C ; C = 1 a

1 a - x = K t + 1 a

Tirando mmc no segundo membro:

1 a - x = a K t + 1 a

Multiplicando cruzado:

a = ( a - x ) ( a K t + 1 )

a = a 2 K t + a - a K t x - x

Passo 3

Vamos colocar x no primeiro membro e descobrir o solicitado:

a K t x + x = a 2 K t + a - a

a K t + 1 x = a 2 K t

x = a 2 K t a K t + 1

Resposta

x = a 2 K t a K t + 1

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