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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 59a

Exercício: 59 - Às vezes, sociólogos usam a expressão "difusão social" para descrever o modo como a informação se espalha por uma população. A informação pode ser um boato, uma novidade cultural ou notícias sobre uma inovação técnica. Em uma população suficientemente grande, o número de pessoas x que têm a informação é tratado como uma função derivável do tempo t, e a taxa de difusão, d x d t , é supostamente proporcional ao número de pessoas que têm a informação multiplicada pelo número de pessoas que não a têm. Isso leva à equação:

d x d t = K x ( N - x )

Onde N é o número de pessoas na população. Suponha que t seja medido em dias, k = 1 /250 e que duas pessoas deram início a um boato no momento t = 0 em uma população de N = 1000 pessoas.

A – Determine x com função de t.

Passo 1

Vamos calcular a integral primeiramente, sendo:

d x d t = K x ( N - x )

Logo:

d x = K x N - x d t ; K d t = d x x ( N - x )

Inserindo na Integral:

∫ d x x ( N - x ) = ∫ K   d t

∫ d x x ( N - x ) = K t

Realizando as frações pelo método de frações parciais:

1 x ( N - x ) = A x + B N - x

Tirando mmc:

1 x ( N - x ) = A N - x + B ( x ) x ( N - x )

Assim:

1 = A N - A x + B x

1 = - A + B x + A N

Montando um sistema de equações:

- A + B = 0 ,   B = A A N = 1

Dado que N é um número qualquer, logo:

A = 1 N ; B = 1 N

Passo 2

Substituindo na fração as parciais e depois inserindo na integral:

1 N x + 1 N N - x = 1 N x + 1 N ( N - x )

∫ 1 N x + 1 N ( N - x ) d x = K t

1 N ∫ 1 x d x + 1 N ∫ 1 N - x d x = K t

1 N ln ⁡ x + 1 N ln ⁡ N - x = K t + C

1 N ln ⁡ x N - x = K t + C

Como foram duas pessoas que deram iníco ao boato logo: x = 2 ,   N = 1000 ,   K = 1 250 ,   t = 0

Subsituindo:

1 1000 ln ⁡ 2 1000 - 2 = 1 250 ⋅ 0 + C

1 1000 ln ⁡ 2 998 = C

1 1 0 00 ln ⁡ x 1000 - x = 1 250 t + 1 1000 ln ⁡ 2 998

Simplifica o segundo logaritmo dividindo ambos os termos por 2:

1 1000 ln ⁡ x 1000 - x = 1 250 t + 1 1000 ln ⁡ 1 499

Desta forma:

1 1000 podemos simplificar multiplicando os termos por 1000:

ln ⁡ x 1000 - x = 1000 250 t + ln ⁡ 1 499

ln ⁡ x 1000 - x - ln ⁡ 1 499 = 4 t

Agrupando os logaritmos:

ln ⁡ 499 x 1000 - x = 4 t

Passo 3

Tirando o logaritmo de ambos os lados:

499 x 1000 - x = e 4 t

Assim, multiplicando cruzado:

499 x = e 4 t 1000 - x

499 x = 1000 e 4 t - e 4 t x

499 x + e 4 t x = 1000 e 4 t

499 + e 4 t x = 1000 e 4 t

x = 1000 e 4 t 499 + e 4 t

Resposta

x = 1000 e 4 t 499 + e 4 t

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Calcule a integral.int (r^2)/(r + 4) d r
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Calcule a integral.7.int (x)/(x - 6) d x
7-38 Calcule a integral.9.int (x - 9)/((x + 5) (x - 2)) d x