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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 25

Calcule a integral.

int (10)/(( x - 1 ) ( x^2 + 9 )) d x

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral. Para isso, vamos recorrer às frações parciais. Decompondo os fatores, temos que

(10)/((x - 1) (x^2 + 9)) = (A)/(x - 1) + (B x + C)/(x^2 + 9)

Assim,

(10)/(( x - 1 ) ( x^2 + 9 )) = (A (x^2 + 9) + ( B x + C ) ( x - 1 ))/(( x - 1 ) ( x^2 + 9 ))

Portanto,

(A + B) x^2 + (- B + C) x + (9 A - C) = 10

Assim,

{[[A + B = 0],[- B + C = 0],[9 A - C = 10]])

Temos então que B = C = - A . Assim, 9 A - (- A) = 10 => A = 1 . Portanto, B = C = - 1 . Assim,

(10)/((x - 1) (x^2 + 9)) = (1)/(x - 1) - (x)/(x^2 + 9) - (1)/(x^2 + 9)

Passo 2

Desta forma, a integral será

int (10)/((x - 1) (x^2 + 9)) d x = int (1)/(x - 1) d x - int (x)/(x^2 + 9) d x - int (1)/(x^2 + 9) d x

A primeira integral é simples e será igual a ln | x | . Já a segunda é calculada fazendo u = x^2 + 9 => d u = 2 x d x :

int (x)/(x^2 + 9) d x = (1)/(2) int (1)/(u) d u = (1)/(2) ln | u | = (1)/(2) ln ( x^2 + 9 )

Por fim, a última integral é facilitada fazendo x = 3 t => d x = 3 d t . Desta forma,

int (1)/(x^2 + 9) d x = int (1)/(9 t^2 + 9) 3 d t = (1)/(3) int (1)/(t^2 + 1) d t = (1)/(3) a r c t g t = (1)/(3) a r c t g ((x)/(3))

Passo 3

Desta forma,

int (x^2 - x + 6)/(x^3 + 3 x) d x = ln | x - 1 | - (1)/(2) ln (x^2 + 9) - (1)/(3) a r c t g ((x)/(3))

Resposta

ln | x - 1 | - (1)/(2) ln (x^2 + 9) - (1)/(3) a r c t g ((x)/(3))

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