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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 7

Calcule a integral.

int_(- 1)^1 (e^(a r c t g y))/(1 + y^2) d y

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral usando alguma das técnicas de integração estudadas até agora.

Como a derivada de a r c t g y é (1)/(1 + y^2) , vamos fazer x = a r c t g y , assim

d x = (1)/(1 + y^2) d y

Portanto,

int_(- 1)^1 (e^(a r c t g y))/(1 + y^2) d y = int_(- (pi)/(4))^((pi)/(4)) e^x d x

Passo 2

Calculando a integral, obtemos

int_(- (pi)/(4))^((pi)/(4)) e^x d x = [e^x]_(- (pi)/(4))^((pi)/(4)) = e^(pi // 4) - e^(- pi // 4)

Passo 3

Desta forma,

int_(- 1)^1 (e^(a r c t g y))/(1 + y^2) d y = e^(pi // 4) - e^(- pi // 4)

Resposta

e^(pi // 4) - e^(- pi // 4)

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