Calcule a integral.

∫ - 1 1 e a r c t g   y 1 + y 2 d y

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral usando alguma das técnicas de integração estudadas até agora.

Como a derivada de a r c t g   y é 1 1 + y 2 , vamos fazer x = a r c t g   y , assim

d x = 1 1 + y 2 d y

Portanto,

∫ - 1 1 e a r c t g   y 1 + y 2 d y = ∫ - π 4 π 4 e x   d x

Passo 2

Calculando a integral, obtemos

∫ - π 4 π 4 e x   d x = e x - π 4 π 4 = e π / 4 - e - π / 4

Passo 3

Desta forma,

∫ - 1 1 e a r c t g   y 1 + y 2 d y = e π / 4 - e - π / 4

Resposta

e π / 4 - e - π / 4

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