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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 72

Calcule a integral :

int (d x)/(sqrt(- 2 x - x^2))

Passo 1

Galera, o primeiro passo será reescrever o termo - 2 x - x^2 . Utilizaremos o método de completar quadrados. Veja:

- 2 x - x^2 = - ( x^2 + 2 x )

Agora, vamos somar e subtrair 1^2

- (x^2 + 2 x + 1^2 - 1^2)

Vamos comparar com a equação do 2º grau:

x^2 + 2 a x + a^2 = (x + a)^2

Agora, veja:

- (x^2 + 2 x + 1^2 - 1^2) = - ((x + 1)^2 - 1^2) = - (x + 1)^2 + 1

Passo 2

Agora, substituindo na integral, temos:

int (d x)/(sqrt(- 2 x - x^2)) = int (d x)/(sqrt(- (x + 1)^2 + 1)) = sin^(- 1) ( x + 1 ) + C

Passo 3

sin^(- 1) ( x + 1 ) + C

Resposta

sin^(- 1) ( x + 1 ) + C

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