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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 4

Calcule a integral.

int (1)/(x^2 sqrt(9 - x^2)) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (1)/(x^2 sqrt(9 - x^2)) d x

Vamos chamar:

x = 3 sin theta

d x = 3 cos theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int (3 cos theta)/((3 sin theta)^2 sqrt(9 - (3 sin theta)^2)) d theta

= int (3 cos theta)/(9 sin^2 theta sqrt(9 - 9 sin^2 theta)) d theta

= int (3 cos theta)/(9 sin^2 theta * 3 sqrt(1 - sin^2 theta)) d theta

= (1)/(9) int (cos theta)/(sin^2 theta * sqrt(cos^2 theta)) d theta

= (1)/(9) int (1)/(sin^2 theta) d theta

= (1)/(9) int csc^2 theta d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

(1)/(9) int csc^2 theta d theta

= - (1)/(9) cot theta + C

Voltando para x :

- (1)/(9) ((sqrt(9 - x^2))/(x)) + C

Resposta

- (1)/(9) ((sqrt(9 - x^2))/(x)) + C

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