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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 9

Calcule a integral.

int (3 x^3)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (3 x^3)/(sqrt(1 - x^2)) d x

Vamos chamar:

x = sin theta

d x = cos theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int (3 sin^3 theta)/(sqrt(1 - sin^2 theta)) d theta

= int (3 sin^3 theta)/(cos theta) cos theta d theta

= 3 int sin^3 theta d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

3 int sin^3 theta d theta

= 3 [- (1)/(3) sin^2 theta * cos theta - (2)/(3) cos theta] + C

= - sin^2 theta * cos theta - 2 cos theta + C

Voltando para x :

- x^2 sqrt(1 - x^2) - 2 sqrt(1 - x^2) + C

= (x^2 + 2) sqrt(1 - x^2) + C

Resposta

(x^2 + 2) sqrt(1 - x^2) + C

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