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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 5

Calcule a integral.

int (1)/((4 + x^2)^2) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (1)/((4 + x^2)^2) d x

Vamos chamar:

x = 2 tan theta

d x = 2 sec^2 theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int (2 sec^2 theta)/((4 + (2 tan^2 theta)^2)^2) d theta

= int (2 sec^2 theta)/((4 + 4 tan^2 theta)^2) d theta = int (2 sec^2 theta)/(16 (1 + tan^2 theta)^2) d theta

= (1)/(8) int (sec^2 theta)/((1 + tan^2 theta)^2) d theta

= (1)/(8) int (sec^2 theta)/((sec^2 theta)^2) d theta = (1)/(8) int (sec^2 theta)/(sec^4 theta) d theta

= (1)/(8) int (1)/(sec^2 theta) d theta = (1)/(8) int cos^2 theta d theta

Usando uma das identidades trigonométricas, ficamos com:

(1)/(8) int (1 cos (2 theta))/(2) d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

(1)/(8) int (1 cos (2 theta))/(2) d theta

= (1)/(8) int (1)/(2) + (cos (2 theta))/(2) d theta

= (1)/(8) [(1)/(2) theta + (sin (2 theta))/(4)] + C

(1)/(8) [(1)/(2) theta + (sin theta * cos theta)/(2)] + C

= (1)/(16) [theta + sin theta * cos theta] + C

Voltando para x :

(1)/(16) [arctan ((x)/(2)) + (x)/(sqrt(4 + x^2)) ((2)/(sqrt(4 + x^2)))] + C

= (1)/(16) [arctan ((x)/(2)) + (2 x)/(4 + x^2)] + C

= (1)/(16) arctan ((x)/(2)) + (x)/(8 (4 + x^2)) + C

Resposta

(1)/(16) arctan ((x)/(2)) + (x)/(8 (4 + x^2)) + C

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