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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 28

Avalie a integral.

int (d x)/((5 - 4 x - x^2)^((5)/(2)))

Passo 1

Para a resolução de uma integral pela substituição trigonométrica, precisamos fazer a escolha da substituição. Sendo u = 3 sin theta , logo, derivando temos d x = 3 cos theta d theta . E, ainda sqrt(9 - u^2) = 3 cos theta .

Para 5 - 4 x - x^2 , temos que usar o método de completar os quadrados.

5 - 4 x - x^2 = (x^2 + 4 x + 4) + 9 = 9 - (x + 2)^2

Então, u = x + 2 e d u = d x . Logo,

int (d u)/((9 - u^2)^((5)/(2)))

Assim podemos aplicar as substituições trigonométricas!!

int (d u)/((9 - u^2)^((5)/(2))) = int (3 cos theta d theta)/((3 cos theta)^5)

Simplificando, essa integral tem como resultado:

int (3 cos theta d theta)/((3 cos theta)^5) = (1)/(81) int sec^4 theta d theta = (1)/(81) int (tan^2 theta + 1) sec^2 theta d theta

Logo,

(1)/(81) int (tan^2 theta + 1) sec^2 theta d theta = (1)/(81) [(1)/(3) tan^3 theta + tan theta] + C

(1)/(81) int (tan^2 theta + 1) sec^2 theta d theta = (1)/(243) [(u^3)/((9 - u^2)^((3)/(2))) + (3 u)/(sqrt(9 - u^2))] + C

int (d x)/((5 - 4 x - x^2)^((5)/(2))) = (1)/(243) [(( x + 2 )^3)/((5 - 4 x - x^2)^((3)/(2))) + (3 ( x + 2 ))/(sqrt(5 - 4 x - x^2))] + C

Prontinho!!

Resposta

int (d x)/((5 - 4 x - x^2)^((5)/(2))) = (1)/(243) [(( x + 2 )^3)/((5 - 4 x - x^2)^((3)/(2))) + (3 ( x + 2 ))/(sqrt(5 - 4 x - x^2))] + C

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a)int cos^2 (5 x) d x
h)int cos (x) cos^2 (4 x) d x
e)int s e n^2 ( x ) cos^4 (x) d x
f) ∫ cos ⁡ x 1 + s e n 2 x d x
2. Seja f x uma função contínua. b) Mostre que a mudança de variável u = s e n ( x ) transforma a integral ∫ f c o s ⁡ ( x ) ⋅ s e n x d x em - ∫ f u d u