Avalie a integral.
Para a resolução de uma integral pela substituição trigonométrica, precisamos fazer a escolha da substituição. Sendo
u = 3 sin theta
, logo, derivando temos
d x = 3 cos theta d theta
. E, ainda
sqrt(9 - u^2) = 3 cos theta
.
Para
5 - 4 x - x^2
, temos que usar o método de completar os quadrados.
5 - 4 x - x^2 = (x^2 + 4 x + 4) + 9 = 9 - (x + 2)^2
Então,
u = x + 2
e
d u = d x
. Logo,
int (d u)/((9 - u^2)^((5)/(2)))
Assim podemos aplicar as substituições trigonométricas!!
int (d u)/((9 - u^2)^((5)/(2))) = int (3 cos theta d theta)/((3 cos theta)^5)
Simplificando, essa integral tem como resultado:
int (3 cos theta d theta)/((3 cos theta)^5) = (1)/(81) int sec^4 theta d theta = (1)/(81) int (tan^2 theta + 1) sec^2 theta d theta
Logo,
(1)/(81) int (tan^2 theta + 1) sec^2 theta d theta = (1)/(81) [(1)/(3) tan^3 theta + tan theta] + C
(1)/(81) int (tan^2 theta + 1) sec^2 theta d theta = (1)/(243) [(u^3)/((9 - u^2)^((3)/(2))) + (3 u)/(sqrt(9 - u^2))] + C
int (d x)/((5 - 4 x - x^2)^((5)/(2))) = (1)/(243) [(( x + 2 )^3)/((5 - 4 x - x^2)^((3)/(2))) + (3 ( x + 2 ))/(sqrt(5 - 4 x - x^2))] + C
Prontinho!!
int (d x)/((5 - 4 x - x^2)^((5)/(2))) = (1)/(243) [(( x + 2 )^3)/((5 - 4 x - x^2)^((3)/(2))) + (3 ( x + 2 ))/(sqrt(5 - 4 x - x^2))] + C