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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 16

Avalie a integral.

int (d x)/(x^2 sqrt(16 x^2 - 9))

Passo 1

Para a resolução de uma integral pela substituição trigonométrica, precisamos fazer a escolha da substituição. Sendo 4 x = 3 s ec theta , onde 0 <= theta <= (pi)/(2) . Logo, derivando temos d x = (3)/(4) sec theta d theta .

Para sqrt(16 x^2 - 9) , temos que

sqrt(16 ( (3)/(4) sec theta )^2 - 9) = sqrt(9 sec^2 theta - 9) = 3 sqrt(sec^2 theta - 1) = 3 tan theta

Assim podemos substituir!!

int ((3)/(4) sec theta d theta)/(( (3 sec theta)/(4) )^2 3 tan theta)

Simplificamos a integral e teremos:

(4)/(9) int cos theta d theta

Essa integral tem como resultado:

(4)/(9) int cos theta d theta = (4)/(9) sin theta + C

Passo 2

Esboçando o triangulo retângulo associado, temos:

Então,

int (d x)/(x^2 sqrt(16 x^2 - 9)) = (4)/(9) (sqrt(16 x^2 - 9))/(4 x) + C = (sqrt(16 x^2 - 9))/(9 x) + C

Prontinho!!

Resposta

int (d x)/(x^2 sqrt(16 x^2 - 9)) = (4)/(9) (sqrt(16 x^2 - 9))/(4 x) + C = (sqrt(16 x^2 - 9))/(9 x) + C

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b) ∫ s e n x cos 2 ⁡ x d x
d)int s e n (2 x) cos^2 (2 x) d x
g) ∫ s e n 2 2 x cos 2 ⁡ 3 x d x
c)int cos (x) s e n^4 (x) d x
f)int cos^2 (2 x) s e n^2 (2 x) d x