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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 11

Calcule a integral.

int (1)/(x^2 sqrt(9 x^2 - 4)) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (1)/(x^2 sqrt(9 x^2 - 4)) d x

Vamos chamar:

x = (2)/(3) sec theta

d x = (2)/(3) tan theta sec theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

(2)/(3) int (tan theta sec theta)/(((2)/(3) sec theta)^2 sqrt(9 ((2)/(3) sec theta)^2 - 4)) d theta

= (2)/(3) int (tan theta sec theta)/((4)/(9) sec^2 theta sqrt(4 sec^2 theta - 4)) d theta

= (2)/(3) * (9)/(4) int (tan theta sec theta)/(sec^2 theta * 2 sqrt(sec^2 theta - 1)) d theta

= (3)/(2) int (tan theta sec theta)/(sec^2 theta * 2 sqrt(sec^2 theta - 1)) d theta

Usamos então a indentidade trigonométrica, aí fica assim:

(3)/(4) int (tan theta sec theta)/(sec^2 theta * sqrt(tan^2 theta)) d theta

= (3)/(4) int (tan theta sec theta)/(sec^2 theta * tan theta) d theta

= (3)/(4) int (1)/(sec theta) d theta

= (3)/(4) int cos theta d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

(3)/(4) int cos theta d theta

= (3)/(4) [sin theta] + C

Aí então, voltamos para x :

(3)/(4) ((sqrt(9 x^2 - 4))/(3 x)) + C

= (sqrt(9 x^2 - 4))/(4 x) + C

Resposta

(sqrt(9 x^2 - 4))/(4 x) + C

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