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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 1

Calcule a integral.

int sqrt(4 - x^2) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int sqrt(4 - x^2) d x

Vamos chamar:

x = 2 sin theta

d x = 2 cos theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int sqrt(4 - 4 sin^2 theta) (2 cos theta) d theta

= 4 int cos^2 theta d theta

= 2 int (1 + cos 2 theta) d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

2 int (1 + cos 2 theta) d theta

= 2 theta + sin 2 theta + C

Voltando para x :

2 sin^(- 1) ((x)/(2)) + 2 ((x)/(2)) ((sqrt(4 - x^2))/(2)) + C

= 2 sin^(- 1) ((x)/(2)) + (x sqrt(4 - x^2))/(2) + C

Resposta

2 sin^(- 1) ((x)/(2)) + (x sqrt(4 - x^2))/(2) + C

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