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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 6

Calcule a integral.

int (x^2)/(sqrt(5 + x^2)) d x

Passo 1

Bom galera, para resolvermos essa integral, a gente vai usar a substituição trigonométrica. Para a nossa integral:

int (x^2)/(sqrt(5 + x^2)) d x

Vamos chamar:

x = sqrt(5) tan theta

d x = sqrt(5) sec^2 theta d theta

Passo 2

Belezinha, substituindo, ficamos com:

int (5 tan^2 theta * sqrt(5) sec^2 theta)/(sqrt(5 + 5 tan^2 theta)) d theta

= int (5 tan^2 theta * sqrt(5) sec^2 theta)/(sqrt(5) * sec theta) d theta

= 5 int tan^2 theta * sec theta d theta

Usamos a identidade trigonométrica:

5 int (sec^2 theta - 1) * sec theta d theta

= 5 int sec^3 theta - sec theta d theta

Passo 3

Por fim, a gente resolve a integral e volta pra x :

5 int sec^3 theta - sec theta d theta

= 5 [(sec^2 theta * sin theta)/(2) + (1)/(2) ln | sec theta + tan theta | - ln | sec theta + tan theta |] + C

= 5 [(sec^2 theta * sin theta)/(2) - (1)/(2) ln | sec theta + tan theta |] + C

= (5)/(2) [(1)/(cos^2 x) sin theta - (1)/(2) ln |sec theta + tan theta|] + C

= (5)/(2) [tan theta * sec theta - (1)/(2) ln | sec theta + tan theta |] + C

Voltando para x :

(5)/(2) [sqrt((x^2)/(5) + 1) * (x)/(sqrt(5)) - ln |(x)/(sqrt(5)) + sqrt((x^2)/(5) + 1)|] + C

= (5)/(2) [(x sqrt(x^2 + 5))/(5) - ln |(x)/(sqrt(5)) + sqrt((x^2)/(5) + 1)|] + C

Resposta

(5)/(2) [(x sqrt(x^2 + 5))/(5) - ln |(x)/(sqrt(5)) + sqrt((x^2)/(5) + 1)|] + C

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