Calcule

∫ x 2 + 1 2 x - x 2 d x

Passo 1

Inicialmente, vamos olhar para o denominador. Vem comigo!

2 x - x 2

Nesse caso, a ideia é completar o quadrado:

x - 1 2 = x 2 - 2 x + 1

Logo,

2 x - x 2 = 1 - x - 1 2

Voltando para nossa integral:

I = ∫ x 2 + 1 1 - x - 1 2 d x

Passo 2

Agora não tem mistério, vamos fazer uma substituição trigonométrica para eliminar a raiz no denominador. Considere a seguinte:

x - 1 = s e n t

Derivando,

d x = cos ⁡ t d t

Então a integral fica:

I = ∫ ( s e n t + 1 ) 2 + 1 1 - s e n 2 t cos ⁡ t d t

Assim,

I = ∫ s e n 2 t + 2 s e n t + 2 cos ⁡ t cos ⁡ t d t

Separando pra ficar mais fácil:

I = ∫ s e n 2 t d t + ∫ 2 s e n t d t + ∫ 2 d t

Lá da trigonometria:

sen 2 ⁡ t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

Portanto,

I = ∫ 1 - cos ⁡ 2 t 2 d t + ∫ 2 s e n t d t + ∫ 2 d t

I = ∫ 1 2 d t - ∫ cos ⁡ 2 t 2 d t + ∫ 2 s e n t d t + ∫ 2 d t

Não esquece: ∫ s e n x   d x = - c o s ⁡ ( x ) + c

Não esquece: ∫ c o s x   d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos partir para a integral!

I = t 2 + c 1 - s e n 2 t / 2 2 + c 2 + 2 ( - cos ⁡ t + c 3 + 2 t + c 4

Juntando as constantes e fazendo as contas:

I = t 2 - s e n 2 t 4 - 2 cos ⁡ t + 2 t + k

Logo,

I = 5 t 2 - s e n 2 t 4 - 2 cos ⁡ t + k

Resposta

5 t 2 - s e n 2 t 4 - 2 cos ⁡ t + k

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