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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4i

Calcule

int (x^2 + 1)/(sqrt(2 x - x^2)) d x

Passo 1

Inicialmente, vamos olhar para o denominador. Vem comigo!

sqrt(2 x - x^2)

Nesse caso, a ideia é completar o quadrado:

(x - 1)^2 = x^2 - 2 x + 1

Logo,

2 x - x^2 = 1 - (x - 1)^2

Voltando para nossa integral:

I = int (x^2 + 1)/(sqrt(1 - (x - 1)^2)) d x

Passo 2

Agora não tem mistério, vamos fazer uma substituição trigonométrica para eliminar a raiz no denominador. Considere a seguinte:

x - 1 = s e n (t)

Derivando,

d x = cos (t) d t

Então a integral fica:

I = int (( s e n (t) + 1 )^2 + 1)/(sqrt(1 - s e n^2 (t))) cos (t) d t

Assim,

I = int (s e n^2 (t) + 2 s e n (t) + 2)/(cos (t)) cos (t) d t

Separando pra ficar mais fácil:

I = int s e n^2 (t) d t + int 2 s e n (t) d t + int 2 d t

Lá da trigonometria:

sen^2 (t) = (1 - cos (2 t))/(2)

Portanto,

I = int (1 - cos (2 t))/(2) d t + int 2 s e n (t) d t + int 2 d t

I = int (1)/(2) d t - int (cos (2 t))/(2) d t + int 2 s e n (t) d t + int 2 d t

Não esquece: int s e n (x) d x = - c o s ( x ) + c

Não esquece: int c o s (x) d x = s e n ( x ) + c

Passo 3

Agora vamos partir para a integral!

I = ((t)/(2) + c_1) - ((s e n (2 t) // 2)/(2) + c_2) + (2 ( - cos (t) + c_3) + (2 t + c_4)

Juntando as constantes e fazendo as contas:

I = (t)/(2) - (s e n (2 t))/(4) - 2 cos (t) + 2 t + k

Logo,

I = (5 t)/(2) - (s e n (2 t))/(4) - 2 cos (t) + k

Resposta

(5 t)/(2) - (s e n (2 t))/(4) - 2 cos (t) + k

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