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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 9o

Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando.

∫ 1 + x 3 d x

Passo 1

Pra eliminar essa, vamos pensar em uma função que substituída ali dentro consiga ser tirada da raiz. Se liga! A gente pode substituir o termo que tá dentro da raiz por um cubo perfeito, não é? Assim a raiz cúbica já ia sair. Vamos fazer isso:

1 + x = t 3

Derivando,

1 2 x d x = 3 t 2 d t

Como x = t 3 - 1 :

1 2 t 3 - 1 d x = 3 t 2 d t

Então,

d x = 6 t 2 t 3 - 1 d t

Passo 2

Beleza, então vamos ficar com:

I = 1 + x 3 d x

I = t 3 3 × 6 t 2 t 3 - 1 d t

Arrumando a casa,

I = 6 t 3 t 3 - 1 d t

Prontinho, sumimos com a raiz!

Resposta

1 + x = t 3

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